一个整数的约数个数与约数和的计算方法.doc

一个整数的约数个数与约数和的计算方法两数的最大公约数与最小公倍数 1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少? 【分析与解】 360分解质因数360=2×2×2×3×3×5=23×32×5； 360的约数可以且只能是2×3b×5c,(其中c均是整数且为0～36为0～2c为0～1)． 因为、、c的取值是相互独立的由计数问题的乘法原理知约数的个数为(3+1)×(21)×(1+1)=24． 我们先只改动关于质因数3的约数可以是l32,它们的和为(1+3+3),所以所有360约数的和为(1+3+3)×2y×5w； 我们再来确定关于质因数2的约数可以是l2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+3)×(1+2+22+23)×5w； 最后确定关于质因数的约数可以是15,它们的和为(1+5)所以所有(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)． 于是我们计算出值13×15×6=1170． 所以360所有约数的和为1170． 评注我们在 I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后将每个质因数的指数(次数)加1后 1400严格分解质因数后为23×5×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(11)=4×3×2=24个(包括1和它自身) Ⅱ约数的和是在严格分解质因数后将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880． 2.一个数是5个23个36个51个7的连乘积这个数有许多约数是两位? 【分析与解】 设这个数为A有A=25×3×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数而96=25×3为A的约数所以96为其最大的 3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 【分析与解】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后将每个质(次数)加1后所得的乘积如1400严格分解质因数后为23×5×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个包括和它自身) 如果某个自然数有奇数个约数那么这个数的所有质因子的个数均为偶数后均是奇数所得的乘积才能是奇数而所有质因数的个数均是(除0外)有奇数 由以上分析知我们所求的为360630之间有多少个完全平方数? 1818=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～63之192,202,212,222,232,242,252． 即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361400,441,484,529,576,625． 4.今有语文课本42册数学课本112册自然课本70册平均分成若干堆每3种课本的数量分别相等那么最多可分多少堆? 【分析与解】 显然堆数是42的约数是112的约数是70的约数即为42112,70的公约数有(42112,70)=14． 所以最多可以分成14堆． 5.加工某种机器零件要经过三道工序第一道工序每名工人每小时可完成6个零件第二道工序每名工人每小时可完成10个零件第三道工序每名工人每15个零件要使加工生产均衡三道工序最少共需要多少名工人? 【分析与解】 为了使生产均衡则每道工序每小时生产的零件个数应相等A、B、C个工人有6A=10B=15C=那么k的最6,10,15的最小公倍数即[610,15]=30． 所以A=5B=3,C=2,则三道工序最少共5+3+2=10名工人． 6.有甲、乙、丙3人甲每分钟行走120米乙每分钟行走100米丙每分钟行70米如果3个人同时同向从同地出发沿周长是300米的圆形跑道行走那3人又可以相聚? 【分析与解】 设在x分钟后3人再次相聚甲走了120x米乙走了lOOx70x米他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍． 即120100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数那么300就是20x50x,30x的公约数． 有(20x50x,30x):300,而(20x50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以=30． 即在30分钟后3人又可以相聚． 73条圆形跑道圆心都在操场中的旗杆处甲、乙、内3人分别在里、中3人都在旗杆的正东方向里圈跑道长千千米,外圈跑道长千米.甲每小时跑3千米乙每小时跑45千米问他们同时出发几小时后3人第一次同时回到出? 【分析与解】 甲跑完一圈需小时乙跑一圈需小时则他们同时回到出发点时都跑了整数圈所以经历的时间,,的倍数即它们的公倍数． . 所以,6小时后,3人第一次同时回