渗流有限元理论2详解.ppt

渗流有限元分析理论 （1）设想将连续系统分割为数量有限的单元，单元之间通过指定点即节点进行连接，用这样形成的单元集合体来替代原来的连续系统。作用于系统上的外荷载用节点上的等效荷载来代替。 （2）按一定的规则，对每个单元建立起求解未知量与节点相互作用力之间的关系。 （3）按一定的条件集合全部单元，边界条件引进后就形成了一组以节点变量为未知量的代数方程组，进行求解就可得到某个节点处的待求变量。因此，有限元法的实质是将拥有无限个自由度的连续系统，抽象为仅有有限个自由度的单元集合体，使问题更适于数值求解。 2.1.2 有限元法的基础理论 由上述可知，有限单元法的重要思想是将一个连续域离散化为有限个单元，这些单元通过有限的节点相互连接形成一个等效的集合体。这些单元之间的连接方式、组合方法均可以不相同，单元自身的形状又是多种多样，因此可以对几何形状比较复杂的模型进行数值模拟求解。该法是通过将全部求解域内将要求解的未知区域函数分离到所有单元内假定的逼近相似函数分区域表示来实现的。与此同时，全部单元里的逼近相似函数由未知区域里的函数在单元的各个结点的数值以及插值函数表示。随着单元个数的增加．单元尺寸不断缩小、其自由度不断增加，插值函数更加精确。所得到的解与真实值的差距将会不断缩小，假如该单元的收敛条件得以满足，那么所求解最终将趋于我们所希望得到的精确解。 有限元法对于单元应力应变的求解．只要单元位移确定，就可以利用几何方程和物理方程就可以求单元的应力和应变。下面仍以平面四节点矩形单元为例推导单元刚度矩阵。根据弹塑性力学中平面问题几何方程能得到单元里任何一点的应变表示式如下： 式中[B]称为应变矩阵，它的分块子矩阵可表示成： （2.1） （2.2） 代入插值函数后，上式可写为 根据弹性力学平面问题物理方程，单元里每一点的应力能表示为： （2.3） 式中 （2.4） 式中[s]表示应力矩阵，[D]为弹性矩阼其表达式为 E是杨氏模量，µ是泊松比。 应力矩阵[S]的分块子矩阵可用下式表示： （2.5） （2.6） 将其代入无量纲形函数后，上式变为 对于平面应变问题，只需将上式中的E和µ分别用 代替即可 （2.7） 2．2 渗流分析理论 达西（Darcy） 于1852年通过实验研究，总结出了渗流水头损失与渗流速度之间的关系，后人称之为达西定律。 设一均匀渗流装置，水经过 达西通过实验得出，圆筒内 的渗流量 Q 与渗流模型过水断面 面积 A 及水力坡度 J 成正比，与 土壤的透水性能有关，即 l h1 h2 Q，A 长为 L的砂滤层后，测压管水头 由 h1 减小为 h2 ，于是其间的水 力坡度 J 可表示为 式中：V—断面A上的平均流速，或称达西流速； J—渗透坡降，即沿流程S的水头损失率； k—渗透系数； h—测压管水头，它是压力水头与位置高度之和。 (2.8) (2.9) 它指出了渗透速度v与水力梯度J，或渗透坡降的线性关系。故又称为线性渗透定律。从公式中可以看到达西渗透定律是把流速v与渗透坡降J的关系作为正比关系来考虑的，通过许多学者的研究证明这一正比关系在一定的条件下才能成立，太沙基通过大量试验证明从砂土到黏土达西渗透定律在很大的范围内都能适用，其适用范围是由雷诺数（Re）来决定的，也就是说达西定律仅适用于线性阻力关系的层流动力。 在水利水电建设工程中，除了一些水工建筑物诸如堆石坝、堆石排水体这样的孔隙相当大的介质中的渗流被认为是紊流之外。相当一部分渗流都包括于层流这个范围之内，均可运用达西定律进行渗流分析。根据达西定律所建立起来的渗流分析的数值分析模型，与很多工程实际问题还存在一些差别。故而应用达西渗流理论分析解决实际渗流问题时，应多考虑工程实际情况。加以灵活运用， 2.2.2 渗流连续性方程 渗流理论基础之一是水力学中的连续性方程，该方程是自然界中质量守恒定律应用于渗流问题的一个具体表现，它表明，运行于渗透介质中流体，在其运行变化的整个过程中，其质量始终保持恒定不变，即不会自动增加也不会自动减少。 我们假设渗透进介质中流动的水是不能被压缩的均质液体，而且仅是涉及竖直方向这一单个方向的压缩，那么由质量守恒定律，通过对公式加以变换就能得到如下可压缩介质的渗流方程（即连续性方程）： （2.10） 式中，α—为多孔介质压缩系数； β—为水的压缩系数； ρ—为渗透水的密度； ρg(α+nβ) —为单位贮水量或贮存率; vx，vy，vz— 分别为渗流沿坐标轴方向的分速度。