第九薄板弯曲问题.ppt

§9-2 弹性曲面的微分方程 薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解，取挠度 作为基本未知函数。 * * 第九章 薄板弯曲问题 §9－1 有关概念及计算假定 §9－2 弹性曲面的微分方程 §9－3 薄板横截面上的内力 §9－4 边界条件 §9－5 四边简支矩形薄板的重三角形积数解 §9－6 矩形薄板的但三角形级数解 §9－7 矩形薄板的差分解 §9－8 圆形薄板的弯曲 §9－9 圆形薄板的轴对称弯曲 §9－1 有关概念及计算假定 板所承受的荷载： 作用于中面的面内载荷。弹性力学平面问题 垂直于中面的横向荷载。板将产生弯曲，板的中面将变形成为一个曲面， 垂直于中面的位移称为挠度w。小挠度弯曲问题 薄板的小挠度弯曲理论，采用了弹性力学 的5个基本假设外，还补充了3个计算假设 1）垂直于中面方向的线应变，即 可以不计。 取 由几何方程的第三式得 结论：中面的任一根法线上的各点都有相同的横向位移，也就等于挠度 2）应力分量 远小于其余的3个应力分量 所引起的形变可以忽略不计 从而有 可见：中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线 薄板的物理方程 薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即 由几何方程知 可知，中间的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在xy面上的 投影形状却保持不变 1)将纵向位移 用挠度 表示。 纵向位移表示为 2）将主要应变分量 用 表示 （a） 3）将主要应力分量 用 （9－4） 4）将次要应力分量 用 其中 （9－5） 5）将更次要应力分量 用 表示。 6）导出微分方程 根据薄板的上板面的边界条件 将 的表达式代入上式，得到薄板的弹性曲面微分方程 或 其中 称为薄板的弯曲刚度 §9－3薄板横截面上的内力 薄板内力： 指薄板横截面的每单位宽度上，由应力合成的主矢量和主矩 注意： 由于在板的侧面，很难使应力分量精确地满足应力边界条件，但板的 侧面是板的次要边界，可应用圣维南原理，用内力的边界条件来代替 应力的边界条件 从薄板内取出一个平行六面体， 它的三边长度分别为 和板的厚度 图（9－2） 在x为常量的横截面上，作用着 在该截面的每单位宽度上，应力分量 对中面合成为弯矩 将式（9－4）中的第一式代入并对z进行积分，得 （a） 同理： (b） (c） 同样，在y为常数的横截面上， （d） （e） （f） 将式（9－9）代入式（a）至（f），薄板的内力可简写成 （9－10） 薄板内力正负方向的规定，是从应力的正负的方向的规定来得出的： 正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正； 反之为负 所有内力的正方向，如图（9－3）所示 y x 图（9－3） （9－11） 各应力分量与内力的关系 由内力表示的平衡微分方程 侧边边界条件由圣维南原理满足 将分布剪力和分布扭矩合成为分布剪力 §9－4 扭矩的等效剪力 边界条件 可用2个大小相等为Myx，方向相反，相距dx的垂直力代替 可用2个大小相等为 ，方向相反，相距dx的垂直力代替 此外，还有两端未抵消的集中剪力 RA＝(Myx)A， RB＝(Myx)B 最终角点B出现未抵消的的集中力应是 RB＝(Myx)B＋(Mxy)B＝2(Myx)B 及两端的集中力 RB＝(Mxy)B，RC＝(Mxy)C （1）自由边 弯矩和合成剪力为零，因此， 在x=a上， Mx=0，Vx＝0， 在y=b上，My=0，Vy＝0，