微分方程竞赛模型(传染病和人口发展模型)教案.ppt

* 考虑自愈的SARS的传播模型 该文根据对SARS传播的分析，把人群分为5类:易感类、潜伏期类、患病未被发现类、患病已被发现类和治愈及死亡组成的免疫类，并考虑自愈因素，提出了两个模型:微分方程模型和基于Small-World Network的模拟模型。对微分方程模型，以香港为例讨论了自愈的影响，在一定意义下说明自愈现象在SARS传播中是普遍存在的。 * 1 基本假设与符号 1.1 基本假设 (2) 假设人们被感染后需先进入潜伏期，在潜伏期内不具备传染性; (3) 假设SARS患者被发现后就立即被隔离，被隔离者不具备传染性，SARS患者只在被发现前可以传染他人; (4) 假设SARS康复者不会被再次感染，并且不具备传染性; (5)不考虑在SARS传播期间人口的自然出生和自然死亡; (6)所研究地区的人口总量一定，不考虑该段时间内人口的迁入迁出; * 1.2 符号说明 N——我们所研究区域的人口总数; S——易感类，该类成员没有染上SARS，也没有免疫能力，可以被传染上SARS; E——潜伏期类，该类成员已经感染了SARS病毒，但尚处于潜伏期，还不是SARS患者，不能把病毒传染给S类成员; Iu——患病未被发现类，该类成员已经成为真正的SARS患者，能够把病毒传染给S类成员; Ii——患病已被发现类，该类成员虽然是SARS患者，但由于发现后立即被严格隔离，不能传染给S类成员; * 2 微分方程模型 2.1 模型建立 我们把一个封闭区域内的人群完备的分成5类: S类、E类、Iu类、Ii类和R类，设第t天时五类成员的人数分别为S(t), E(t), Iu(t), Ii( t ), R ( t)，该地区总人口为N。考虑自愈因素，则各类成员之间的流动情况如下图所示: R—免疫类，该类成员为SARS康复者或因患SARS死亡，已经具有免疫力，不再对其它成员产生任何影响; H——潜伏期天数; L——传染期天数; * S(t) E(t) R(t) Iu(t) Ii(t) sIuS gE zIu cIi mE * 其中: s是患病人群每天接触并传染易感人群的比例系数; g是SARS感染者的日发病率，m是SARS感染者的日自愈率; z是患病人群每天被隔离的比率，c是免疫率; 借鉴以往微分方程建立传染病模型的思想，我们得到如下的关于SARS传播的SEIuIiR微分方程模型: * 2.2 模型求解及结果分析 2 .2 .1 参数意义及确定 (1) s是患病人群每天接触并传染易感人群的比例系数 易知s=lq. 其中，l为一天内一个患病者与他人的接触率，q为一个易感者接触一个患病者后被感染的概率 (2) g是SARS感染者的日发病率，m是SARS感染者的日自愈率. 假定每个SARS感染者的实际潜伏期天数服从区间[1,H]上的均匀分布。也就是说，SARS感染者以均等的概率在这H天之中的任何一天发病或者自愈。(H为潜伏期天数上限)容易得到: * (4)c是免疫率，也就是患病人群每天病死率和治愈率之和。 可以根据实际数据得到。(由每天数据计算出当天c值，其平均值即为所求) (3) z是患病人群每天被隔离的比率，反映了社会的警觉程度及政府措施的力度。 2.2.2 模型求解及结果分析 人口增长模型 * 　　为简单起见只考虑自然的出生与死亡，不计迁移 等社会因素的影响。 1、基本符号： 一、人口模型发展方程 * * 2、数学推导： * * 定解条件： ——初始密度函数 ——婴儿出生率 （可由人口调查资料得到） （对人口预测和控制起重要作用） * 连续型人口发展方程： * 化为常微分方程求解 * * 3. 生育率和生育模式——婴儿出生率的进一步分析 * 人口正反馈控制系统示意图 * 4. 人口指数 * (5) 依赖指数? ( t ) ——平均每个劳动者要供养的人数 * 二、中国人口区域结构向量模型 1:城市男性; 2:城市女性; 3:城镇男性; 4:城镇女性; 5:乡村男性; 6:乡村女性. 下标 i=1,2,3,4,5,6, 分别表示 * A: 出生人口性别分配矩阵 * 人口区域结构向量模型 其中 E是单位矩阵 * * * 传染病模型 * 模型1(SI模型) 模型: * * 模型2(SIS模型) 模型: * 令 s=l/m——接触数(再生数), 一个传染期内每个病人有效接触的平均人数 * * 模型3(SIR模型) 数值计算 模型: * 在相平面上讨论解的性质(轨道走向): * 03年:SARS传播预测的数学模型 题目的第二问是提供了北京市4月20日到6月12日已确诊的SARS累计病例数、现有的疑似SARS病例数、累计死亡人数和累计治愈出院人数，希望学生建立起自己的模型，以对北京等地SARS的感染情况进行研究，定量地描述，并分析控制措施对SARS传播的影响。特别