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材 料 力 学Mechanics of Materials 第三章 剪切和扭转 空心圆截面(外径D，内径d，d/D=α) 扭转截面系数/m3： 极惯性矩/m4： 强度条件：τmax≤[τ] 二、切应力强度条件 等直圆轴强度条件： 式中[τ]——材料的许用切应力： 同种材料的[τ]与[σt ]有一定关系： 塑性材料： 脆性材料： 同样可以进行三类强度计算： 强度校核、截面设计、许可荷载确定。 A D C B x y z dx dy dz ? ?? 三、切应力互等定理 微元能不能平衡？ 怎样才能平衡？ 哪些力互相平衡？ 根据力偶平衡理论 切应力互等定理:两相互垂直平面上的切应力必成对出现，且大小相等、方向共同指向或背离该两平面交线。 纯剪切应力状态：在两对相互垂直的面上只有切应力而无正应力的状态。 单元体 ∑Fy=0，左右两截面上τ相等 例1：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少? 解：设实心轴的直径为 d1 ，由τmax1=τmax2 得： 0.8 0.8 1.192 0.8 0.512 为什么相同强度条件下空心轴比实心轴省材料？ ①切应力分布规律 ； ②当A1=A2，Wp1/Wp2=0.366（α=0.8） 例2：一厚度为10mm、内径为190mm 的空心圆管，承受扭矩T=40 kN·m 。试求管中的最大切应力，使用： (1)薄壁管的近似理论； (2)精确的扭转理论。 解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得 (2) 利用精确的扭转理论可求得 误差△=4.5%，当δ/d0≤0.05时，近似理论足够精确。 例3：一空心轴α=d/D=0.8，转速n=250r/min, 功率P=60kW，［τ］=40MPa，求轴的外径D和内径d。 解：（1） 求外力偶矩 （2） 截面设计 圆整取D=80mm，d=64mm. §3-5 等直圆轴扭转的变形和刚度条件 一、圆轴扭转时的变形 比较拉压变形： 圆轴扭转变形用相对扭转角 度量： 若为同一材料制成的等直圆轴，且T为常数，则： GIp——扭转刚度。 (rad) Me Me 单位长度扭转角 ：相对扭转角沿杆长度的变化率。 (rad/m) 二、刚度条件 公式适用条件： 1）对???p的等直圆轴公式才成立（线弹性、平面假设）； 3）对于小锥度圆杆可作近似计算。 2）材料、扭矩、截面沿杆轴不变（G、T、Ip为常量）； 三、工程中的三类问题 1. 强度、刚度校核 2. 截面设计 由强度、刚度条件求得2个面积，取大的面积作为使用面积。 , , 3. 计算许可荷载 由强度、刚度条件求得2个荷载，取小的荷载作为许可荷载。 , 下列框图表示了求解过程： 例1：已知：空心圆轴G=80GPa，外径D＝100mm，内径d=80mm， AB=l=500mm，m1=6kN·m，m2＝4kN·m。 求：（1）C截面对A、B截面的相对扭转角； （2）若有m1=2m2=2m，[τ]=30MPa， =0.5°/m， 计算轴的许可荷载[m]。 A C B 2 1 2l 解：1、绘扭矩图： ? 4 T x (kN·m) 2 2、计算IP： “+”号表示面向C截面观察时，该截面相对于A（或B）截面逆时针转动，“-”号反之。 3、计算相对扭转角 ▲计算扭转角时若轴各段扭矩、材料、截面有不同，均需分段计算。 4、求许可荷载 （1） 据强度条件 （2） 据刚度条件 （3） 比较得[m]=4.04kN·m ? m T x m 1.自由扭转或纯扭转 扭转过程中,杆各横截面的翘曲不受任何约束,任意两相邻横截面翘曲程度完全相同。此时横截面只有切应力,而无正应力。 §3-6 等直非圆杆自由扭转 非圆截面杆受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面，这一现象称为截面翘曲。 矩形截面杆自由扭转 非圆截面杆在扭转时有两种情形: 2.约束扭转 杆端部受到约束而不能自由翘曲,引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同,将在横截面上产生附加的正应力。 实体截面杆：约束扭转产生的附加正应力很小，一般可忽略； 薄壁截面杆：附加的正应力不能忽略。 一、概述 切应力分布图 （1）周边各点切应力方向与周边相切，形成切应力流，四个角点处切应力为零；　　（2）τmax在长边中点，大小为： 次大切应力τ 在短边中点，大小为: τ =ντmax 注意到：对非圆杆扭转，平面假设不再成立。上述公式是将弹性力学的分析结果仿照圆轴公式形式写出。 ?（3） 杆件单位长度扭转角 T 二、矩形截面杆自由扭转 式中It=αb