平面向量数量积的物理背景及其含义(人教A版必修四)教程.ppt

类型 三 向量的夹角和垂直问题 【典型例题】 1.(2013·沧州高一检测)平面内三个向量a，b，c满足|a| =|b|=1，|c|= 且a+b+c=0,则向量a，b的夹角大小是___. 2.已知|a|=1，|b|=2，a-b与a垂直，求当k为何值时， (ka-b)⊥(a+2b)？ 【解题探究】 1.依据向量数量积的定义，如何求向量a，b的夹角？ 2.如果两个向量垂直，这两个向量数量积是多少？ 探究提示： 1.首先求两个向量a，b夹角的余弦值，然后根据向量夹角的 取值范围求角. 2.如果两个向量垂直，这两个向量数量积是零. 【解析】1.由a+b+c=0,可得a+b=-c, 则(a+b)2=(-c)2，得a2+b2+2a·b=c2， 因为|a|=|b|=1，|c|= 设向量a与b的夹角为θ，则有 1+1+2×1×1×cos θ= 解得cos θ= 又θ∈［0,π］， 所以θ= 答案： 2.因为a-b与a垂直， 所以(a-b)·a=0， 所以a2-a·b=0, 所以a·b=|a|2=1， 要使得(ka-b)⊥(a+2b)， 只要(ka-b)·(a+2b)=0， 即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0， 所以k+(2k-1)-2×22=0， 所以k=3. 【拓展提升】 1.求向量夹角的基本步骤 2.注意事项 在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值. 【变式训练】 已知|a|＝1，a·b＝ (a-b)·(a＋b)＝ (1)求a与b的夹角. (2)求a-b与a＋b的夹角的余弦值. 【解析】(1)因为(a-b)·(a＋b)＝ 所以|a|2-|b|2＝ 又因为|a|＝1， 所以|b|＝ 设a与b的夹角为θ，则 又因为θ∈［0，π］， 所以θ＝ (2)因为(a-b)2＝a2-2a·b＋b2＝ 所以|a-b|＝ 又(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝ 所以|a＋b|＝ 设a＋b与a-b的夹角为α， 则 【典型例题】 1.在△ABC中，满足 ， 若M是BC的中点， O是线段AM上任意一点，则 的最小值为_____. 2.已知a,b是非零向量. (1)若a⊥b，判断函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)的奇偶性. (2)若f(x)为奇函数，证明：a⊥b. 数量积的综合应用 【解析】 1.因为 M是BC的中点， 所以 设 则 而 所以 当且仅当x= 时， 取最小值 答案： 2.(1)f(x)=x2a·b+(b2-a2)x-a·b, 因为a⊥b,所以a·b=0，所以f(x)=(b2-a2)x. ①当|a|≠|b|时，f(x)为奇函数. ②当|a|=|b|时，f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)因为f(x)为奇函数， 所以f(-x)=- f(x)对于x∈R恒成立， 所以f(0)=0,即-a·b=0, 又a, b是非零向量，故a⊥b. 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 一、向量的数量积及其几何意义 定义 几何意义 两个非零向量 a与b的数量积 记法 规定 投影 几何意义 数量____________叫做a与b的数量积 (或内积),其中θ是a与b的夹角 记作:a·b,即a·b=____________ 零向量与任一向量的数量积为__ 向量a在b方向上的投影:_________ 向量b在a方向上的投影:_________ 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向 上的投影_________的乘积 |a||b|cosθ |a||b|cosθ 0 |a|cosθ |b|cosθ |b|cosθ 思考:两个向量的数量积什么时候为正数,什么时候为零,什么 时候为负数? 提示：设向量a,b的夹角为θ,当0°≤θ90°时,a·b0, 即数量积为正数,当θ=90°,a·b=0,即数量积为0; 当90°θ≤180°时,a·b0,即数量积为负数. 二、向量数量积的性质和运算律 1.向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ, (1)a⊥b?_______. (2)当a∥b时，a·b= (3)a·a=____或_______. (4)cos θ=_____. (5)|a·b|___|a||b|. a·b=0 |a|2 ≤ 2.向量数量积的运算律 交换律 对数乘的结合律 分配律 __________ ___________________________ ___________________ a·b=b·a (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) (a+b)·c=a·c+b·c