清华大学06连续函数的概念和性质教程.ppt

满足 且 所以函数 在区间 上不一致连续. 在区间 上不一致连续. (2)函数 证明 存在 对于 满足 满足 对于 证(1.反证法) 但是不一致连续. 若函数 在区间 上连续, 定义3.4.1 (Cantor定理) 则在 上一致连续. 假设函数 在区间 上连续, 满足 对于 数列 都包含在 中, 有界. 由例3.2.1的结果知，存在正整数列 满足: 对于任意的 k 都有 数列 都收敛. 但 从而有 所以 即 连续, 所以 与 矛盾. 有限覆盖定理： 使得 证明：用反证法. 被开区间系 若闭区间 则存在有限子系 覆盖（即 ）, 假设不然， 即 不能被 将区间 等分为两半, 中有限个开区间覆盖， 必至少有一半不能被 将这样的一半记作 （如果两半都如此， 任取其一）. 也有一半不能被 中有限个开区间覆盖. 将此记作 依此类推. 中有限个开区间覆盖. 等分为两半， 再将 其中至少 这样我们得到区间套 存在唯一点 由区间套定理知， 因为 覆盖区间 所以 使得 因为 所以 使得 与区间套的构做方式矛盾.? 开区间 被开区间系 覆盖 ① 存在有限子系 使得 例如, 令 则 被开区间系 覆盖, 但不能被其任意一个有限子系覆盖. 闭区间 被闭区间系 覆盖 ② 存在有限子系 使得 例如, 令 则 被闭区间系 覆盖, 但不能被其任意一个有限子系覆盖. 用有限覆盖定理证明闭区间上连续函数有界 对于 所以存在有限个 使得 所以有 □ 用有限覆盖定理证明Cantor定理. 令 当 时， 不妨设 则 从而有 从而有 在I上一致连续. 所以， □ 作 业 P104 2,3,5 P109 1,2,3,4 Bye! 3.1 连续函数的概念和性质 3.1.1 函数的连续性 3.1.2 连续函数的性质 3.1.3 介值定理 第3章 连续函数 定义3.1.1 注 3.1.1 函数的连续性 定义 3.1.2 第一类间断点又分两种情形： (间断点分类) 第二类间断点又分两种情形： 例3.1.1 例3.1.2 符号函数 例3.1.3 O 练习 指出下列函数的间断点及其类型： 定义3.1.3 显然， 定义3.1.4 于是 于是 例3.1.4 解 定理3.1.1 注 这个定理是极限四则运算法则的直接推论. 3.1.2 连续函数的性质 证明 所以根据极限的复合运算推出 定理3.1.2 （复合函数的连续性） 定理3.1.3 （ 幂指函数的连续性） 定理3.1.4　 证明 于是根据极限保号性推出， 于是定理得证. 定理3.1.5 　 (零点定理) 介值定理 证： 不妨设 记 则集合A是有界集. 记 又 ，所以 使得 因为 所以 假设 因为 所以 有 令 则 与c是 A 的上界矛盾. 所以 （证法2） 记 取 若 取 即可得证. 若 则取 若 则取 取 若 ，取 即可得证. 若 则取 若 则取 如此下去. 取 或者在某一步取得 满足 或者 或者在某一步取得 满足 或者 产生一个区间套 满足 有 由区间套定理， 所以 □ 定理 3.1.6 　 证明 (介值定理) (用零点定理证明介值定理) (反函数的连续性) 定理3.1.7 由介值定理知， 中的每个值 都可以取到, 要 只要 值域是 即 证明： 不妨设 在 上严格单调减少. 即 当 时，只要 即 当 时，只要 （因为 减少），即只要 当 时，只要 即 当 时，只要 即只要 当 时，必有 所以 所以 同理， (当 .) □ 初等函数在它的定义域内部处处连续. 用定理3.1.1~4 可以推出所有初等函数连续性. 定理3.1.8 解释 对于反三角函数，用反函数连续性推出连续性． 解 计算得到： 例3.1.5 于是由零点定理推出： 根据代数学基本定理，三次多项式最多有三个实根. 例3.1.6 解题思路 尽可能多地发现函数值变号次数. 答案 证明 至少两个！ 例3.1.7 （不动点的存在性） 证明 构造辅助函数 并且 于是由零点定理推出： 作 业 P96 1(4)(5)(6) 2(2)(3) 3 P110 1,3(2),5 Bye! 定理3.3.1 若 在 上连续, 3.3 闭区间上连续函数的性质 假设 在 上无界. 则 使得 记 证明： （反证法） 则 在 上有界. 数列 有界, 有收敛子列, 记做 所以 因为函数 连续, 由 的取法, 从而有 矛盾！ 定理3.3.1 若 在