第二讲条件概率与乘法规 概率论与数理统计课件.ppt

第二次课程2012.9.21 §4 条件概率与乘法规则 在事件B发生的前提下，事件A发生的概率 考试第1门不及格的概率是否会影响第二门不及格的概率？ 作业 1 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两两种报警设备, 已知设备 A 单使用时有效的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B有效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率. 2 p.28第21题、第26题 例3 甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管， 某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9， 0.8及0.85。求在这段时间内有机床需要工人照管的概 率以及机床因无人照管而停工的概率。 解：用A、B、C分别表示在这段时间内机床甲、乙、 丙不需要照管。 则A、B、C相互独立，且 P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.85 例4 图中开关a、b、c开或关 的概率都是0.5，且各开关是 否关闭相互独立。求灯亮的 概率以及若已见灯亮，开关a 与b同时关闭的概率。 解：令A、B、C分别表示开关a、b、c关闭，D表示灯亮 P(D)=P(AB+C)=P(AB)+P(C)-P(ABC) =P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C) =0.5×0.5+0.5-0.5×0.5×0.5 =0.625 ABD=AB =0.4 a b c 例5 甲、乙、丙三人独立射击一个目标，命中率分别为 0.4，0.5，0.7，若只有一人击中，目标被摧毁的概率是 0.2，若二人击中，则目标被摧毁的概率是0.6，若三人 都击中，目标一定被摧毁。若目标被摧毁，求它是一人 摧毁的概率。 解：用Ai表示有i个人击中目标，i=0,1,2,3 用B表示目标被摧毁。 P(B|A0)=0 P(B|A1)=0.2 P(B|A2)=0.6 P(B|A3)=1 P(A0)=0.6×0.5×0.3 =0.09 P(A1)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7 =0.36 P(A2)=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7 =0.41 P(A3)=0.4×0.5×0.7 =0.14 ＝0.458 (二)独立试验序列概型 进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性 都不受其它各次试验结果发生情况的影响，则称这n次 试验是相互独立的。 在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序 列概型。 若在每次试验中只关心某事件A发生或不发生，且每次 试验结果与其它各次试验结果无关，即在每次试验中事 件A发生的概率都是p(0p1)。 这样的n次重复试验称为n重贝努里试验。 例6 一批产品的废品率为p,(0p1)重复抽取n次， 求有k次取到废品的概率。 解：设所求事件的概率为P(B),事件B由下列m个互 不相容的事件组成： B1=(废，…，废，正，…，正) B2=(废，…，废，正，废，正，…，正) Bm=(正，…，正，废，…，废) P(B1)=P(B2)=…=P(Bm)=pk(1-p)n-k 一般地，有如下的定理： 解：设B表示至少有两件一级品 ＝1-P10(0)-P10(1) 例7 一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，现 在检查了10件，求至少有两件一级品的概率。 例8 某药物对某病的治愈率为0.8，求10位服药的 病人中至少有6人治愈的概率。 解：设A表示至少有6人治愈。 ＝P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10) 而正好有8人治愈的概率为 =0.302 例9 在四次独立试验中，A至少出现一次的概率 为0.59，求A至多出现一次的概率。 解：设在一次试验中A出现的概率为p 则A至少出现一次的概率为 故 (1-p)4=0.41 1-p=0.8 p=0.2 A至多出现一次的概率为： P4(0)+P4(1) =0.82 例10 (分赌注问题)甲、乙各下注a元，以猜硬币方式 赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第 一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？ 解法一： 应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。 即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。 甲最终获胜的概率为 P4(2)+P4(3)+P4(4) 解法二： 一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。 甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为 甲方在第四局结束赌博获胜的概率为 甲方在第五局结束赌博获胜的概率为 故甲方最终获胜的概率为 P(B3+B4+B5) =P(B3)+P(B4)+P(B5) 赌注应按11：5的比例分配。 例11 (赛制的选择)在体育比赛中，若甲选手对乙选 手的胜率是0.6，那么甲在五局三胜与三局两胜这两 种赛制中，选择哪个对自己更有利。