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第九章 插值与拟合 插值：求过已知有限个数据点的近似函数。 拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。 插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。 §1 插值方法 下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite插值和三次样条插值。 1.1 拉格朗日多项式插值 1.1.1 插值多项式 用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数在区间上个不同点处的函数值，求一个至多次多项式 （1） 使其在给定点处与同值，即满足插值条件 （2） 称为插值多项式，称为插值节点，简称节点，称为插值区间。从几何上看，次多项式插值就是过个点，作一条多项式曲线近似曲线。 次多项式（1）有个待定系数，由插值条件（2）恰好给出个方程 （3） 记此方程组的系数矩阵为，则 是范德蒙特(Vandermonde)行列式。当互不相同时，此行列式值不为零。因此方程组（3）有唯一解。这表明，只要个节点互不相同，满足插值要求（2）的插值多项式（1）是唯一的。 插值多项式与被插函数之间的差 称为截断误差，又称为插值余项。当充分光滑时， 其中。 1.1.2 拉格朗日插值多项式 实际上比较方便的作法不是解方程（3）求待定系数，而是先构造一组基函数 是次多项式，满足 令 （4） 上式称为次Lagrange插值多项式，由方程（3）解的唯一性，个节点的次Lagrange插值多项式存在唯一。 1.1.3 用Matlab作Lagrange插值 Matlab中没有现成的Lagrange插值函数，必须编写一个M文件实现Lagrange插值。 设个节点数据以数组输入（注意Matlat的数组下标从1开始），个插值点以数组输入，输出数组为个插值。编写一个名为lagrange.m的M文件： function y=lagrange(x0,y0,x); n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end 1.2 牛顿（Newton）插值 在导出Newton公式前，先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。 1.2.1 差商 定义 设有函数为一系列互不相等的点，称为关于点一阶差商（也称均差）记为，即 称一阶差商的差商 为关于点的二阶差商，记为。一般地，称 为关于点的阶差商，记为 容易证明，差商具有下述性质： 1.2.2 Newton插值公式 线性插值公式可表成 称为一次Newton插值多项式。一般地，由各阶差商的定义，依次可得 将以上各式分别乘以，然后相加并消去两边相等的部分，即得 记 显然，是至多次的多项式，且满足插值条件，因而它是的次插值多项式。这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。称为Newton插值余项。 Newton插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即 因而便于递推运算。而且Newton插值的计算量小于Lagrange插值。 由插值多项式的唯一性可知，Newton插值余项与Lagrange余项也是相等的，即 由此可得差商与导数的关系 其中。 1.2.3 差分 当节点等距时，即相邻两个节点之差（称为步长）为常数，Newton插值公式的形式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率（差商）可用函数值之差（差分）来表示。 定义 设有等距节点，步长为常数，。称相邻两个节点处的函数值的增量为函数在点处以为步长的一阶差分，记为，即 类似地，定义差分的差分为高阶差分。如二阶差分为 一般地，阶差分为 ， 上面定义的各阶差分又称为向前差分。常用的差分还有两种：