第二节 平面图形的面积.ppt

一、直角坐标系情形 二、极坐标系情形 三、小结 * 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 解 两曲线的交点 面积元素 选 为积分变量 解 两曲线的交点 选 为积分变量 于是所求面积 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题： 积分变量只能选 吗？ 解 两曲线的交点 选 为积分变量 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 面积元素 曲边扇形的面积 解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积 解 利用对称性知 求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积. （注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算） 思考题 思考题解答 x y o 两边同时对 求导 * * * * 一、1、1； 2、； 3、2； 4、； 5、； 6、. 二、1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、. 三、. 四、. 五、. 例1 计算由两条抛物线和所围成的图形的面积. 例2 计算由曲线和所围成的图形的面积. 例3 计算由曲线和直线所围成的图形的面积. （其中和对应曲线起点与终点的参数值） 在[,]（或[,]）上具有连续导数，连续. 例4 求椭圆的面积. 设由曲线及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里， 在上连续，且． 例5 求双纽线所围平面图形的面积. 例6 求心形线所围平面图形的面积. 设曲线过原点及点，且为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与轴和曲线围成的面积是另一条平行线与轴和曲线围成的面积的两倍，求曲线方程. 因为曲线过点 因为为单调函数 填空题： 由曲线及轴所围成平面区域的面积是______________ . 由曲线及直线所围成平面区域的面积是_____ . 由曲线 所围成平面区域的面积是_______ . 计算与所围的区域面积时，选用____作变量较为简捷 . 由曲线与直线所围成平面区域的面积是_________ . 6曲线与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积，其中一条切线与曲线相切于点 ，，则当__时，面积最小 . 求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1、、与直线及。 2．与直线及。 3． 4、摆线及轴； 5、及的公共部分； 6、笛卡尔叶形线. 求抛物线及其在点和处的切线所围成的图形的面积 . 求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以上方之间的图形的面积 . 求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值 . 例1 计算由两条抛物线和所围成的图形的面积. 例2 计算由曲线和所围成的图形的面积. 例3 计算由曲线和直线所围成的图形的面积. （其中和对应曲线起点与终点的参数值） 例4 求椭圆的面积. 在[,]（或[,]）上具有连续导数，连续. 设由曲线及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里， 在上连续，且． 例5 求双纽线所围平面图形的面积. 例6 求心形线所围平面图形的面积. 设曲线过原点及点，且为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与轴和曲线围成的面积是另一条平行线与轴和曲线围成的面积的两倍，求曲线方程. 因为曲线过点 因为为单调函数 填空题： 由曲线及轴所围成平面区域的面积是______________ . 由曲线及直线所围成平面区域的面积是_____ . 由曲线 所围成平面区域的面积是_______ . 计算与所围的区域面积时，选用____作变量较为简捷 . 由曲线与直线所围成平面区域的面积是_________ . 6曲线与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积，其中一条切线与曲线相切于点 ，，则当__时，面积最小 . 求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1、、与直线及。 2．与直线及。 3． 4、摆线及轴； 5、及的公共部分； 6、笛卡尔叶形线. 求抛物线及其在点和处的切线所围成的图形的面积 . 求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以上方之间的图形的面积 . 求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值 . 一、1、1； 2、； 3、2； 4、； 5、； 6、. 二、1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、. 三、. 四、. 五、.