初中数学竞赛重要定理及结论(2013年必威体育精装版版、最完整版).doc

初中数学竞赛重要定理公式【三角形面积公式（包括海伦公式）】 ，其中表示边上的高，为外接圆半径，为内切圆半径， 【斯特瓦尔特定理】设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝BC·DC·BD． 【托勒密定理】圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD． 【蝴蝶定理】AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，MP=QM． 【勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）】(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．　(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 【中线定理（巴布斯定理）】设△ABC的边BC的中点为P，则有； 中线长：． 【垂线定理】 高线长： 【角平分线定理】三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如△ABC中，AD平分∠BAC，则；（外角平分线定理）． 角平分线长：（其中为周长一半）． 【正弦定理】，（其中为三角形外接圆半径）． 【余弦定理】 【张角定理】【圆周角定理】同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半． 【弦切角定理】弦切角等于夹弧所对的圆周角． 【圆幂定理】（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：） 【射影定理（欧几里得定理）】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 【梅涅劳斯（Menelaus）定理】设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 ．（逆定理也成立） 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线． 【塞瓦定理】设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是··=1． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M． 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点． 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．　 【西摩松（Simson）定理】从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．【燕尾定理】 两个有公共边的三角形和，与交于点，则三角形的面积与三角形的面积之比等于与的比。（定理描述对下图所示四种图形都成立） 【重心】定义：重心是三角形三边中线的交点， 重心的性质： （1）设G为△ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则； （2）设G为△ABC的重心，则； （3）设G为△ABC的重心，过G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，过G作PF∥AC交AB于P，交BC于F，过G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，则； （4）设G为△ABC的重心，则 ①； ②； ③（P为△ABC内任意一点）； ④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即最小； ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G为△ABC的重心）． （5）、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为 【外心】三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等； （2）设O为△ABC的外心，则或； （3）； （4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和． 【垂心】定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 　　 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍； （2）垂心H关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上； （3）△ABC的垂心为H，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆； （4）设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则． 【内心】三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等； 内心性质：（1）设I为△A