带电粒子在有界磁场中运动的临界问题例析.doc

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题例析 湖北省恩施高中 陈恩谱 名师指路 例1：如图所示，长为L的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是 A．使粒子的速度v B．使粒子的速度v C．使粒子的速度v D．使粒子的速度v 【解答】　AB 粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O点，有r12＝L2＋(r1－)2 ，得r1＝ 由r1＝ ，得v1＝所以v时粒子能从右边穿出． 粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O′点，有r2＝ 由r2＝ ，得v2＝所以v时粒子能从左边穿出． A，错在没有将r先取较小值再连续增大，从而未分析出粒子还可以从磁场左边界穿出的情况。 例2：如图所示，在0≤x≤a、≤y≤范围内有垂直手xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 (1)速度的大小 (2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。 【解答】设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，根据牛顿第二定律和洛伦兹力得： ，解得： 当a/2Ra时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示，设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意，t=T/4时，∠OCA=π/2 设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系得： ， 且 解得：轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦长——半径一定、圆心角都较小时（均小于180°），弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长 【例3】如图所示，无重力空间中有一恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向外，大小为B，沿x轴放置一个垂直于xOy平面的较大的荧光屏，P点位于荧光屏上，在y轴上的A点放置一放射源，可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量为m、电荷量+q的同种粒子，这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线，P点处在亮线上，已知OA＝OP＝l，求： （1）若能打到P点，则粒子速度的最小值为多少？ （2）若能打到P点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少？ 粒子既经过A点又经过P点，因此AP连线为粒子轨迹圆的一条弦，圆心必在该弦的中垂线OM上（如图甲）。在OM上取不同点为圆心、以圆心和A点连线长度为半径作出一系列圆（如图乙），其中轨迹①对应半径最小，而轨迹②对应粒子是O1点上方轨道半径最大的，由图可知其对应圆心角也最大。 【】（1）v＝（2）【解答】（1）粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，设粒子的速度大小为v时，其在磁场中的运动半径为R，则由牛顿第二定律有： qBv＝m 若粒子以最小的速度到达P点时，其轨迹一定是以AP为直径的圆（如图中圆O1所示）由几何关系知： sAP= R＝ 则粒子的最小速度 v＝ （2）粒子在磁场中的运动周期T＝ 设粒子在磁场中运动时其轨迹所对应的圆心角为θ，则粒子在磁场中的运动时间为： 由图可知，在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图中圆O2所示，此时粒子的初速度方向竖直向上，则由几何关系有： 则粒子在磁场中运动的最长时间： 解题高手 【例1】在xOy平面上的某圆形区域内，存在一垂直纸面向里的匀强磁 场，磁感应强度大小为B.一个质量为m、带电量为+q的带电粒子，由原点O 开始沿x正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场；后来，粒子经过y 轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°（如图所示），已知P到O的距 离为L，不计重力的影响。 （1）若磁场区域的大小可根据需要而改变，试求粒子速度的最大可 能值； （2）若粒子速度大小为，试求该圆形磁场区域的最小面积。 【分析】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之四：已知初、末速度的方向（所在直线），但未知初速度大小（即未知轨道半径大小）.这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上。初、末速度所在直线必定与粒子的轨迹圆相切，圆心到两条直线距离（即轨道半径）相等，因此，圆心必位于初、末速度延长线形成的角的角平分线上角平分线上 【解答】过P点作末速度所在直线，交x轴于Q点，经分析可知，粒子在磁场中作圆周运动的轨迹的圆心必在的角平分线QC上 ① 由此可知粒子速度越大，其轨道半径越大，由图乙可知，速度 最大的粒子在