第4章 稳定性分析.ppt

系统稳定性可做如下判断： 为半负定的，则平衡状态 xe为李雅普诺夫意义下稳定——稳定判据； 为负定的；或者 为半负定，但对任意初始状态x(t0)≠0， 对x≠0， 不恒为零，则平衡状态 xe 为李雅普诺夫意义下渐近稳定的. 如果进一步还有||x||→∞时，V(x)→∞，那么平衡状态xe为大范围渐近稳定的——渐近稳定判据； 为正定的，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下不稳定——不稳定判据。 [例] 设系统状态方程为 试确定该系统平衡状态的稳定性。 解：由平衡状态方程得 解得唯一的平衡状态为x1=0, x2=0, 即xe=0, 为坐标原点。 为一负定的标量函数，平衡状态（0,0）渐近稳定。 并且 ||x||→∞，有V(x) →∞，系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。 选取一正定的标量函数 其一阶导数为 [例] 设系统状态方程为 x1=0, x2=0为系统唯一的平衡状态，试确定该系统平衡状态的稳定性。 解：选取一正定的标量函数 ≤ 0 半负定 必定满足李雅普诺夫意义下稳定，是否是渐进稳定呢？ 且‖x‖→∞，有V(x) →∞。系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。 结合①和状态方程 ? x1 ? 0 即原点，排除！ 矛盾！ 结合②和状态方程 ? 对于x≠0, 是否恒为0？ 可能性①：x2 ? 0 ， x1任意 可能性②： x2 ? -1， x1任意 即对x≠0, 不恒为0 关于李雅普诺夫函数的说明： (1)普适性。该判据适用线性和非线性、时变和时不变等各类动态系统； (2) Lyapunov函数V(x)不等同于物理意义上的能量，是一个正定标量函数，可视为一个广义能量函数； (3)系统渐近稳定性的判别，归结为V(x)的选取，一般选取V(x)为状态x的二次型函数，需要研究者的经验与技巧，V(x)的选取是非唯一的，不影响判定结论的一致性； (4)充分条件，如果找不到满足稳定性要求的李雅普诺夫函数，并不能做出不稳定的结论。 §4.4 李雅普诺夫判据的应用 一、线性定常系统 对线性定常系统 ，系统的稳定性和原点的稳定性是一致的。 系统渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的某个正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足李雅普诺夫方程： 对应的李雅普诺夫函数为 证明： 根据李雅普诺夫稳定性定理，系统是渐近稳定的。 选 则 如果存在正定矩阵P，满足Q0， 则 [例] 某系统 解: 选Q=I , 由ATP+PA= - Q ，pij=pji . 其平衡状态在坐标原点，试判断该系统的稳定性。 用Sylvester判据： P 0 ? 系统是渐近稳定的. 原则上Q为任意正定对称阵，且系统渐近稳定性的判断结果与Q的不同选取无关。具体应用时，Q常常取为正定对角阵或单位阵，以简化计算结果。 二、线性定常离散系统的渐近稳定性 对线性定常离散系统 平衡状态xe=0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足下述李雅普诺夫方程： * 信息与控制工程学院 现代控制理论——第4章 系统稳定性分析 邓晓刚 dengxiaogang@upc.edu.cn 中国石油大学（华东） 信息与控制工程学院自动化系 Modern Control Theory: Chapter -4 稳定性是自动控制系统最重要的特性 系统的稳定性：外界干扰作用下偏离平衡状态，扰动消失后系统自身恢复到原先平衡状态的一种“顽性” 线性定常系统的稳定性的判定 只取决于系统的结构和参数，稳定的条件是特征方程的根都具有负实部(在左半根平面) 劳斯判据、乃奎斯特判据 非线性系统的稳定性的判定 同时与初始条件和外部扰动的大小有关，无法使用线性定常系统的稳定性判据 如何判断稳定性？ 李雅普诺夫（Lyapunov)方法 （适用于线性、非线性系统） §4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义 经典控制理论中没有给出关于稳定性的一般定义，俄国数学家Lyapunov给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的，线性定常系统由于只有唯一的一个平衡状态，所以才笼统地讲所谓的系统稳定性问题， 对于非线性系统则由于可能存在多个平衡状态，不同的平衡状态可能表现不同的稳定性，必须逐个分别加以讨论。 一、系统状态的运动及平衡状态 平衡状态：状态空间中满足 的一个状态。即平衡状态的各分量相对时间不再发生变化。 自治系统：系统的齐次状态方程为 状态轨线：系统的齐次状态方程由初始状态x0引起的状态运动轨迹，称为系统的运动或状态轨线 对于任意系统，不一定存在平衡状态，