第4章 养老保险问题.ppt

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第四章 养老保险问题 ——非线性方程求根的数值解法 4.1.1 问题的引入 养老保险是保险中的一种重要险种,保险公司将提供不同的保险方案供以选择,分析保险品种的实际投资价值。也就是说,如果已知所交保费和保险收入,则按年或按月计算实际的利率是多少?或者说,保险公司需要用你的保费实际至少获得多少利润才能保证兑现你的保险收益? 4.1.2 模型分析 假设每月交费200元至60岁开始领取养老金,投保人若25岁起投保,届时养老金每月2282元;如35岁起保,届时月养老金1056元;试求出保险公司为了兑现保险责任,每月至少应有多少投资收益率?这也就是投保人的实际收益率。 4.1.3 模型假设 这是一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。 整个过程可以按月进行划分,因为交费是按月进行的。假设投保人到第 k 月止所交保费及收益的累计总额为 Fk ,每月收益率为 r ,用 p, q 分别表示60岁之前和之后每月交费数和领取数,N表示停交保险费的月份,M表示停领养老金的月份。 4.1.4 模型建立 在整个过程中,离散变量 Fk 的变化规律满足: 在这里 Fk 实际上表示从保险人开始交纳保险费以后,保险人账户上的资金数值。 4.1.4 模型建立 我们关心的是,在第 M 月时, FM 能否为非负 数?如果为正,则表明保险公司获得收益;如为负,则表明保险公司出现亏损。当为零时,表明保险公司最后一无所获,所有的收益全归保险人,把它作为保险人的实际收益。 从这个分析来看,引入变量 FK ,很好地刻画了整个过程中资金的变化关系;特别是引入收益率 r,虽然它不是我们所求的保险人的收益率,但从问题系统环境中来看,必然要考虑引入另一对象——保险公司的经营效益,以此作为整个过程中各量变化的表现基础。 4.1.5 模型求解 在(4.1.4)中两式,(可取初始值F0=0 ),我们可以得到: 代数方程求根问题是一个古老的数学问题。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世纪才证明了 次的一般代数方程式是不能用代数公式求解的,因此需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数方程式的近似解。 在工程和科学技术中许多问题常归结为求解非线性方程式问题。正因为非线性方程求根问题是如此重要和基础,因此它的求根问题很早就引起了人们的兴趣,并得到了许多成熟的求解方法。下面就让我们首先了解一下非线性方程的基本概念。 4.2.1 根的有哪些信誉好的足球投注网站相关定义 定义4.2.1 设有一个非线性方程 ,其中 为实变量 的非线性函数。 (1)如果有 使 ,则称 为方程的根,或为 的零点。 (2)当 为多项式,即 则称 为 次代数方程, 包含指数函数或者三角函数等特殊函数时,则称 为特殊方程。 (3)如果 ,其中 。 为正整数,则称 为 的 重根。当 时称 为 的单根。 定理4.2.1 设 为具有复系数的 次代数方程,则 在复数域上恰有 个根( 重根计算 个)。如果 为实系数方程,则复数根成对出现,即当: 为 的复根,则 亦是 的根。 定理4.2.2 设 在 连续,且 ,则存在 ,使得 ,即 在 内存在实零点。 4.2.2 逐步有哪些信誉好的足球投注网站法 对于方程 , ,为明确起见,设 , ,从区间左端点 ,出发按某个预定步长 (如取 , 为正整数),一步一步地向右跨,每跨一步进行一次根的收索。即检查节点 上的函数值 的符号,若 ,则 即为方程解。若 ,则方程根在区间 中,其宽度为 。 4.2.2 逐步有哪些信誉好的足球投注网站法 例4.2.1 考察方程 由于 则 在 内至少有一个根,设从 出发,以 为步长向右进行根的有哪些信誉好的足球投注网站。列表记录各节点函数值的符号。可见在 内必有一根。 表4.2.1 的符号

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