第8章 参数估计.ppt

第八章 参数估计 §8.1 点估计 例8.2 例8.9 (2) 例 解 例 思考 思考 标准正态分布密度函数曲线关于纵轴对称 即有 将括号中变换为与 有关的不等式 故 的置信区间为 例8.12 从某厂生产的钢球中随机抽取7个,测得它们的直径为5.53,5.43,5.17,5.32,5.65,5.22, 5.76, 若钢球直径服从正态分布 求平均直径 的置信度为95%的置信区间. 解: (1) 计算样本均值 (2) 置信度 例8.12 查标准正态分布表,得 (3) 代入公式得置信区间 的区间估计 我们知道 是 的无偏估计,取样本函数 查t分布表,得两个分位点,使 得 的置信区间为 例8.13 解: (1) 计算样本均值和样本标准差 从某厂生产的钢球中随机抽取7个,测得它们的直径为5.53,5.43,5.17,5.32,5.65,5.22, 5.76，若钢球直径服从正态分布 求平均直径 的置信度为95%的置信区间. 例8.13 (2) 查自由度为n-1的t分布表,得 (3) 代入公式得置信区间 的区间估计 我们知道 是 的无偏估计,取样本函数 查 分布表的分位点,使得 注意, 分布密度函数不对称.需要得出 两个分位点的值. 需查两个分位点 例8.7 求 及 的极大似然估计量. 解： 例8.7(续) 对 和 求偏导数得似然方程组 例8.7 (续) 得 及 的极大似然估计量： 得 及 的极大似然估计值： 例8.7 (续) 例8.8 设总体 为一组样本观测值, ， 求? 的极大似然估计. 解：X的密度函数 则似然函数 例8.8(续) 由于似然方程 无解, 所以应考虑极大似然估计的定义,因为函数 在 的单调减函数, 另一方面 故有 因此 当似然方程或对数似然方程解不出? 的似然估计时，可由定义通过分析直接推求.事实上 注 从上节的讨论中我们看到: 有时候同一个参数可以有几种不同的估计方法,这时就存在采用哪一个估计的问题. 另一方面,对一个参数,用矩估计法和极大似然估计法这两种方法即使得到的是同一种估计,也存在一个衡量这个估计优劣的问题. 估计量的优良性准则讨论的就是: 评价一个估计的标准问题. §8.2 估计量的评选标准 估计量 对一次具体的观察或试验的结果，估计值可能较真实的参数值偏大或偏小，而一个好的估计量不应总是偏大或偏小，在多次试验中所得的估计量的平均值应与真实参数吻合，这就是无偏性所要求的. 是一个随机变量, §8.2.1 无偏性标准 若未知参数? 的估计量 有 则称 是参数? 的无偏估计量. 对有偏估计量 ，称 为 的偏差，若样本容量 时有 ,则称 为? 的渐近无偏估计. 定义8.3 例8.9 设总体X服从任何分布，且 是样本 证明:样本均值 样本k阶矩Ak和样本方 差S2分别是 的无偏估计量. 证：(1) 例8.9 (2) 是无偏的. B2 是 的有偏估计量，偏差为 从而B2 是 的渐近无偏估计量. §8.2.2 有效性标准 定义8.4 设 都是? 的无偏 估计量，若 则称 更有效. 对于参数? 的无偏估计量,其取值应在真值附近波动,我们希望它与真值之间的偏差越小越好. 设总体X~U(0,?), ? 0未知, (X1,X2,…,Xn)是总体X的一个样本, (1)求? 的矩估计和极大似然估计; (2)上述两个估计是否为无偏估计量, 若不是, 请修正为无偏估计量; (3)问在(2)中的两个无偏估计量哪一个更有效？ X的密度函数 (1) ? 的矩估计为 而? 的极大似然估计为 (2) 是? 的无偏估计. 为求 先求 的密度函数 显然,它不是? 的无偏估计,修正如下： 令 则 是? 的无偏估计. (3) (3) 当n1时，对任意? 0， 比 更有效. §8.2.3 一致性标准 在参数估计中,很容易想到,如果样本容量越大,样本所含的总体分布的信息越多. n越大,越能精确估计总体的未知参数. 随着n的无限增大,一个好的估计量与被估参数的真值之间任意接近的可能性会越来越大,这就是所谓的相合性或一致性. 定义8.5 是? 的估计量，若 则称 是? 的一致估计量(相合估计量). 由独立同分布大数定律, 可知当总体X有 存在时,则样本k阶原点矩 一致估计量 即样本k阶原点矩是总体k阶原点矩的一致估计量 设 为? 的无偏估计量,若 则 为? 的一致估计量. 证明 由切比雪夫不等式可知 为? 的一致估计量. §8.2.4 均方误差标准 定义8.6 对于总体X的未知参数 是 ? 的估计量，称 为均方误差. 有 则称 在均方误差下比 更有效. 若两个估计量 均方误差与偏