专题2抽象函数.doc

专题二 抽象函数 一、常见解题方法： 特殊值法（赋值法） 常见的赋值技巧：等等。 （2）函数性质法 函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等。 （3）函数模型法 初等函数模型 抽象函数性质 正比例函数 一次函数模型 幂函数 指数函数 对数函数 正切函数， 二、典型例题 例1.已知函数对一切实数都有，且当时，，又 是判定该函数的奇偶性； 是判断该函数在上的单调性； 求在[-12,12]上的最值。 分析：容易知道是线性函数抽象得出的函数，即 解析（1）令得得；再令得则，定义域关于原点对称，为奇函数。 （2）任取，则依题意。 ，即 在上单调递减。 （3）由（2）知函数在上单调递减，且在上单调递减。 在上是奇函数，所以。综上。。。 例2.已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。 分析：一次函数模型，设，则满足 解：设且 则即， 故为增函数， 因此不等式的解集为。 例3.已知定义在非零实数集上的函数对任意的都有，且当时，。 （1）求证：是偶函数； （2）求证：在上是增函数； （3）解不等式。 分析：对数函数模型。设则 解析：（1）令，则得； 令，则得 再令， 定义域关于原点对称，是偶函数。 2)任取则 因，，，为上的递增函数。 是增函数且是偶函数，，又 原不等式等价于，又为上的递增函数， 解得 例4.定义在的函数满足，当时，，且对任意的，都有。 求证：； （2）求证:对任意的恒有； 求证：是上的增函数； 解不等式。 分析:指数函数模型，即满足 解析： （1）证明：对一切有。 且，令，得 (2当时，；当时，； 当时，，令， 所以，。对任意的恒有。 (3)设且， 则 ， 即为增函数。 原不等式转化为 （ 因为 ） 由（3）知是上的增函数 ，所以 ，得原不等式的解集为 例5. 定义在（）上的函数满足（1），对任意都有， （2）当时，有， （1）试判断的奇偶性；（2）判断的单调性； （3）求证。 分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。 解：（1）对条件中的，令，再令可得 ，所以是奇函数。 （2）设，则 ， ，由条件（2）知， 从而有，即，故上单调递减，由奇函数性质可知，在（0，1）上仍是单调减函数。 （3） 例5.已知定义在上的函数满足对任意都有 且当时，。 求证：函数是奇函数 求证：函数在上是单调递减函数 解不等式。 例6．已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明： (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减. 命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.. 知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想. 错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点. 证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0x1x21,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f() ∵0x1x21,∴x2－x10,1－x1x20，∴0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0 ∴x2－x11－x2x1, ∴01,由题意知f()0， 即f(x2)f(x1). ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上为减函数. 例7 已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。 例题8、设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m、n，总有，且 时。（1）证明：f(0)=1，且x0时f(x)1；（2）证明：f(x)在R 上单调递减；（ 3 ）设，若