中学数学解题研究辅导(五).doc

《中学数学解题研究》辅导（五） ———《中学数学解题研究》专题辅导（3） 一、参数法 ?　　1、参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。 2、使用参数法解题的步骤 设参：即选择适当的参数（参数的个数可取一个或多个）； 用参：即建立参数方程或含参数的方程； 消参：即通过运算消去参数，使问题得到解决。 辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。 3、应用参数法解复杂应用题 例1、 快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这三辆车分别用6分、10分、12分追上骑车人．现在知道快车每时走24公里，中车每时走20公里，那么慢车每时走多少公里？ 解 考虑到快、中、慢三辆车出发时与骑车人的距离相同，记为S0．若设慢车速度为V，骑车人速度为v，则各车追上骑车人时多走的路程为： 快车：(24-v)×6=S， 中车：(20-v)×10=S， 慢车：(V-v)×12=S． 从而得到 (24-v)×6=(20-v)×10， (1) (V-v)×12=(20-v)×10． (2) 由(1)得：v=14，代入(2)得 (V-14)×12=(20-14)×10， 即 V=19． 答：慢车每时走19公里． 例2：若关于x的方程acos 2θ+ asinθ-2a-1=0在x∈[0， ]时有唯一解，求a的取值范围。解：原方程可化为：???????????????????????????? =-sin 2θ+ sinθ –1?令sinθ=t(0≤t≤1)，??????????????????? =-t 2+ t-1?因为f(t)= -t 2+ t-1的单调区间为[0， ]，（ ，1），当t ∈[0， ]时，f(t)∈[-1， ]当t∈（ ，1）时，f(t)∈[ ， ]所以：当 ∈[ ，-1]时，即-1≤a≤ 时，方程有唯一解。例3、求使方程loga(x-3)-loga (x+3)=1+log a (x-1)有实数解的实数a的取值范围。解：原方程等价于：????????????? x-3=a(x+3)(x-1)??????? (x3 , a0且a≠1)???????????????? = 令x-3=t(t0) ，则x=t+3 ?=f(t)= =t+ +8?????? (t0)f(t)的单调区间为（0， ），[ ，+∞]，当t∈（0， ）时，f(t)∈（ ，+∞），当t∈[ ，+∞]时，f(t)∈[ ，+∞]，?????? ∈[ ，+∞]，即a∈（0， ），原方程有解。 ??? 例4、 某人买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹌鹑蛋共用9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋则共用去3.20元。试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个共需多少元？ ?? 解法一：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则有 13x+5y+9z=9.25， 2x+4y+3z=3.20。 ?? 将方程组整理变形为： 13（x+y+z）－4（2y+x）=9.25， 2（x+y+z）+（2y+z）=3.20。 ?? 视（x+y+z）、（2y+z）为未知数，易求得x+y+z=1.05（元）。 ???? 这是一道典型的“不定中求确定”的题目。原方程组的解的有无穷多组的，但不论 对应哪组解，即在满足 13x+5y+9z=9.25 （1） 2x+4y+3z=3.2 （2） 的条件下，不论x,y,z各是多少，x+y+z是不变的。 ??????? 原题给的解法看似精妙，但实际上操作起来比较复杂，并且存在一定偶然性。现给出一种参数法的方法来解此题。题目的答案无非由方程（1）和（2）获得，说的更明白些，无非是由（1）和（2）加加减减得到，问题在于我们并不知道应该加（或减）（1）式多少次，加（或减）（2）式多少次，因此，可以用参数法来解题。 解法二、令x+y+z= t? 则13x+5y+9z+t（2x+4y+3z）=9.25+3.2×t，即 ? （13+2t）x+（5+4t）y+（9+3t）z=9.25+3.2t （3） ? 令13+2t=5+4t=9+3t （4） ? 求得，t= 4 ? 若（4）式无解，则表示x+y+z不为定值。 ? 将t=4代入（3），得 ? 21（x+y+z）=9.25+3.2*4=2