中考数学压轴题解题策略直角三角形的存在性问题解题策略.docx

《挑战中考数学压轴题》 上海 马学斌 华东师大出版社 中考数学压轴题解题策略（3） 直角三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者 上海 马学斌 专题攻略 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到． 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）． 例题解析 例? 如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝．D、E为线段BC上的两个动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值． 图1-1 【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了． 如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点． 在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝，所以BH＝8．所以BC＝16． 由EF//AC，得，即．所以BF＝． 图1-2 图1-3 图1-4 ①如图1-3，当∠BDF＝90°时，由，得． 解方程，得x＝3． ②如图1-4，当∠BFD＝90°时，由，得． 解方程，得． 我们看到，在画示意图时，无须受到△ABC的“限制”，只需要取其确定的∠B． 例? 如图2-1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成 △ABC，设AB＝x，若△ABC为直角三角形，求x的值． 图2-1 【解析】△ABC的三边长都可以表示出来，AC＝1，AB＝x，BC＝3－x． 如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况： ①若AC为斜边，则，即，此方程无实根． ②若AB为斜边，则，解得（如图2-2）． ③若BC为斜边，则，解得（如图2-3）． 因此当或时，△ABC是直角三角形． 图2-2 图2-3 例? 如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2, 0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数图象上的一点，且△ABP是直角三角形，求点P的坐标． 图3-1 【解析】A、B两点是确定的，以线段AB为分类标准，分三种情况． 如果线段AB为直角边，那么过点A画AB的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B画AB的垂线，有1个交点． 以AB为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点．如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点． 由题意，得点B的坐标为（2，0），且∠BAP不可能成为直角． ①如图3-2，当∠ABP＝90°时，点P的坐标为（2，1）． ②方法一：如图3-3，当∠APB＝90°时，OP是Rt△APB的斜边上的中线，OP＝2． 设P，由OP2＝4，得．解得．此时P(,)． 图3-2 图3-3 方法二：由勾股定理，得PA2＋PB2＝AB2． 解方程，得． 方法三：如图3-4，由△AHP∽△PHB，得PH2＝AH·BH． 解方程，得． 图3-4 图3-5 这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x2－2)2＝0．这个四次方程的解是x1＝x2＝，x3＝x4＝，它的几何意义就是以AB为直径的圆与双曲线相切于P、P′两点（如图3-5）． 例? 如图4-1，已知直线y＝kx－6经过点A(1,－4)，与x轴相交于点B．若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标． 图4-1 【解析】和例题3一样，过A、B两点分别画AB的垂线，各有1个点Q． 和例题3不同，以AB为直径画圆，圆与y轴有没有交点，一目了然．而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的． 将A(1,－4)代入y＝kx－6，可得k＝2．所以y＝2x－6，B(3,0)． 设OQ的长为m．分三种情况讨论直角三角形ABQ： ①如图4-