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随机数学 第18讲 Ito积分 教师: 陈 萍 suijishuxue@163.com5.2.2 It? 积分的性质 设 f,g ? V(0,T] ，0≤SUT. 则 * * §5.2 It? 积分的定义及性质 例 5.2.1 设N(t) 为t时刻人口量，a(t)为t时刻人口增长率 其中 “noise”合理的数学解释是什么？ (5.2.1) 设 设“noise”=Wt , 则 s≠t ? Ws 与Wt 独立 {Wt} 平稳. 即 的分布与t无关。 (iii) ?t ，E[Wt ]=0. 不存在满足性质 (i) 的连续时间的过程! 设 考虑(5.2.1)的离散化: 设 {Vt}是某个适当的过程，?Vk=V(tk+1)-V(tk) =Wtk ?tk, 则Wt 应满足的性质 (i)-(iii) 相当于{Vt}是0均值平稳独立增量过程。 具有上述性质的连续轨道过程为Brown运动。 取 Vt=?(t)Bt ，由 (5.2.2) 能否证明当 ?tj?0时，(5.2.3)右端极限在某种意义下存在? 若存在，则可形式地写作 设 0 ? ST ，给定 f(t, ? )，要定义 先考虑简单过程： 定义 5.2.1 如果过程 则称之为简单过程，对简单过程，定义 例 5.2.2 设 取 则 记 V=V(S,T)为L2(R) 中满足下列性质的随机过程组成的集合 (i) (t ,? ) ? f(t ? ) 关于 B [S，T]×F–可测； (ii) f(t ? ) 关于 Ft–适； (iii) 引理 5.2.3. 设 f∈V .则存在简单过程序列?n ?V 满足 是否可以定义 引理 5.2.4 (等矩性). 设?(t, ?)为V(S,T)中的简单过程, 则 定义5.2.5 ( Ito 积分) 设 f ∈ V(S,T) .定义f(t,ω) 在 [S,T]上的It?积分为 (5.2.12) P26 其中 是V(S,T)中满足如下条件的简单过程序列. 推论5.2.6 例 5.2.7 设B0=0.则 EX 设 B0=0. 求证 关于 FT-可测. 定理5.2.2 设 f? V(0,T] . 则 P30 定理 5.2.1. 设f(t, ? )? V(0,T]. 则?t≤T 是 Ft 鞅. 关于t连续。 定理5.2.3 （鞅表示定理）设 是 鞅,则存在唯一的随机过程 ,满足 且 利用鞅表示定理，将下列过程表示成It?积分 Answer:
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