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判别式的应用 何光春 湖南湘西 花垣县民族中学（416400） [摘要] 实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）[或实系数一元二次多项式f(x)≡ax2＋bx＋c(a≠0)]的判别式△＝b2－4ac，在解题中有着非常广泛的应用，它在很多问题中直接或间接地扮演着重要的角色，在各种数学竞赛中也经常出现。 关键词：判别式 实系数 方程 应用 一、判别式的应用，主要依据下述结论 1、实系数一元二次方程f(x)≡ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，令△＝b2－4ac则有： △＞0 f(x)＝0有两个不相等的实数根 △＝0 f(x)＝0有两个相等的实数根（也说成只有一个实数根） △＜0 f(x)＝0没有实数根。 2、从几何意义上来看，由于二次函数y＝f(x)≡ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是一条抛物线，显然有： △＞0时，抛物线y＝f(x)与x轴有两个不同的交点（也说成y＝f(x)与x轴相交）。 △＝0时，抛物线y＝f(x)与x轴只有一个交点（也说成y＝f(x)与x轴相切）。 △＜0时，抛物线y＝f(x)与x轴没有交点（也说成y＝f(x)与x轴相离）。 二、应用举例 例1：已知方程x2－2x－m＝0（m为实数），没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋1＋2(m2－1)(x2＋1)＝0有无实根。 分析：要判别第二个方程有无实根，只要判别第二个方程的根的判别式△2，而△2也一个含有m的式子，由第一个方程没有实数根得m的范围，用m的这个取值范围去判别△2的正负零性，从而可以判别第二个方程根的情况。 解：由x2－2x－m＝0没有实数根有： △1＝(-2)2－4(-m) ＜0 得m＜-1 方程x2＋2mx＋1＋2(m2－1) (x2＋1)＝0 整理有： (2m2－1)x2＋2mx＋(2m2－1)＝0 △2＝4m2－4(2m2－1)2 ＝-4(m＋1)(m－1)(2m＋1)(2m－1) ∵m＜-1，∴m＋1＜0，m－1＜0，2m＋1＜0，2m－1＜0。 则有：△2＜0 ∴方程x2＋2mx＋1＋2(m2－1)(x2＋1)＝0没有实数根 例2：若f(x)＝(x＋a)(x＋b)＋(x＋a)(x＋c)＋(x＋b)(x＋c)为x的整平方式。 求证：a＝b＝c 分析：f(x)为x的整平方式也就是f(x)＝0只有一个实数根，则△＝0。 证明：f(x)＝(x＋a)(x＋b)＋(x＋a)(x＋c)＋(x＋b)(x＋c) ＝3x2＋2(a＋b＋c)x＋(ab＋ac＋bc) ∵f(x)为x的整平方式 ∴△＝[2(a＋b＋c)]2－4×3(ab＋ac＋bc)＝0 即：a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0 也就是：2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc＝0 即：(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0 ∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0 即a＝b＝c 例3：m为有理数，问k为何值时，方程x2－4mx＋4x－3m2－2m＋4k＝0的根为有理根。 分析：方程的根为有理根，也就是△为有理数的平方 解：把方程整理为：x2－4(m－1)x＋(3m2－2m＋4k)＝0 △＝[-4(m－1)]2－4(3m2－2m＋4k) ＝4(m2－16m－4k＋4) 要使方程的根为有理根，只须△为有理数的平方，即二次三项式m2－6m－4k＋4为m的一次式的完全平方，所以关于m的方程m2－6m－4k＋4＝0只有一个实数根 即：△＝(-6)2－4(-4k＋4)＝0 5 得：k＝-— 4 例4：若直线y＝2x＋b在2＜x＜4的范围内与函数y＝|x2－8x＋12|的图象相切，试求b的值。 分析：直线与抛物线相切，也就是只有一个交点，把两者联系起来解方程组，这个方程组只有一组解 解：∵2＜x＜4 ∴x2－8x＋12＝(x－4)2－4＜0 ∴2＜x＜4时，y＝|x2－8x＋12|＝-x2＋8x－12 y＝-x2＋8x－12………………(1) y＝2x＋b………………………(2) 把(2)代入(1)并整理有：x2－6x＋(b＋12)＝0 ∵直线与抛物线相切 ∴△＝(-6)2－4(b＋12)＝0 b＝-3 此时，x＝3，在2＜x＜4 ∴b＝-3为所求 例5：已知x≥0，yx＋2y＝1，求x2＋y2的最大值和最小值。 解：∵ x＋2y＝1 ∴x＝1－2y ∴s＝x2＋y2＝(1－2y)2＋y2＝5y2－4y＋1 ∴5y2－4y+1－s＝0 此方程为关于y的一元二次方程且有解 1 ∴△=16－20（1－s）≥0 s≥— 5 1 ∴smin＝— 5 1 又∵x≥0，y≥0且x=1－2y≥0 ∴0≤y≤— 2 对于函数s(y)＝5y2－4 y＋1 1 1 s(0)＝1 s(—)＝—