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第十章 湍流流动的数值模拟Numerical simulation for turbulent flow 1.湍流现象的概述 * 湍流流动是自然界常见的流动现象，自从1883年Reynolds发现湍流流动以来，关于湍流发生机理、湍流的结构及高精度湍流数值计算模型的研究一直是该领域内研究者所关注的课题，由于湍流本身的复杂性，直到现在仍有很多尚未解决的问题。 目前，被多数人接受的观点 湍流能量的级串过程 一、湍流的数值模拟方法 1.直接数值模拟 2.大涡模拟 3.基于Reynolds时均方程的模拟方法 1. 直接数值模拟 Direct Numerical Simulation,DNS 直接数值模拟是直接对非稳态的Navier-Stokes方程进行数值计算的，要对高度复杂的湍流流动进行直接计算，必须采用很小的时间、空间步长，才能分辨出湍流详细的空间结构及变化激烈的非定常特性。 缺点：计算量巨大，一般的计算机难以实现 2. 大涡模拟 Large eddy simulation,LES 根据上面提出的湍流理论：湍流可看作是由大尺度的大涡和小尺度的小涡组成，大尺度涡从主流获得能量，各向同性；小尺度涡从大尺度涡获得能量，各向同性，小尺度涡主要起到耗散能量的作用。 大涡模拟方法的基本思想则是把湍流流动通过滤波方法分解成大尺度运动和小尺度运动两部分。大尺度运动通过数值求解非定常的Navier-Stokes方程方程来直接计算，小尺度运动对大尺度运动的影响则通过建立近似的模型来考虑，常见的亚格子Reynolds应力模型（Subgrid Reynolds Stress）。 该方法的计算量介于直接数值模拟方法与雷诺平均方程法之间，是工程湍流数值模拟的主要发展方向之一 3. Reynolds时均方程方法 Reynolds averaging equation 雷诺平均方程法的思想则是对NS 方程做雷诺平均，得到的雷诺平均NS 方程中会出现二阶脉动速度关联项的时均值，称为雷诺应力，对其建立湍流模式来使方程封闭。该方法使用方便、计算量小,在工程湍流计算中得到了广泛应用，但是，由于湍流模式对某些复杂流动机理的描述不尽完善，使得工程湍流模式的适用范围和计算精度都存在着不足。 Reynolds时均方法 涡粘性系数法 Reynolds应力方程 二.湍流平均运动方程 Reynolds对湍流的瞬态特性分解为平均运动与脉动运动 其中：平均量 代入到流体力学中的连续方程及动量方程并取平均值运算得 此即为平均运动的雷诺方程 雷诺应力： 6个分量 脉动量就是通过雷诺应力来影响平均运动的 三.湍流平均运动 的动能方程 Reynolds对湍流的瞬态特性分解为平均运动与脉动运动 合并可得： 乘上式的k分量加上 乘上式的i分量加上可得： 取i k得： 平均运动 的动能方程 （1） （2） 四.湍动能方程 乘瞬时动量方程的k分量加上 乘瞬时动量方程的i分量加上可得： 整理上式可得： 代入上式，并减去（1）平均运动的动能方程 （3） 雷诺应力方程 瞬时动量方程 （4） 四.湍动能方程 定义湍动能： 令i j 令 湍动能方程可写为： （5） 五.湍流的耗散率方程 瞬时动量方程 对 求导 （6） 上式各项乘 代入上式，取平均值运算 五.湍流的耗散率方程 （7） 对平均运动的雷诺方程进行类似的变换可得： 五.湍流的耗散率方程 （8） （8）式减（7）可得： 此即为湍流耗散率方程 （9） 湍流的模式理论 湍流的模式理论：就是根据理论和经验，对雷诺平均运动方程和脉动运动方程的某些项提出尽可能合理的模型和假设，以此使得方程组封闭求解的理论。 建立湍流模式实际上是用某种假定的系统来代替实际的流场，真实的流场与假定的流场不可能完全等价，因为在假设的系统中，必定为存在某些物理过程没有考虑到，存在误差，因此评价一个模式的优劣就是看假定系统的考虑因素是否周全 ？ 湍流模型的研究 流体力学领域热点问题 对于旋转叶轮内复杂的流动 寻找合适的湍流模型研究 旋转 及曲率的影响 零方程模型 二维Prandtl混合长度理论 两方程模型 K-ε两方程模型 一方程模型 ε方程难以模化，精度角度，因此可以只保留k方程。 ε表示为： 雷诺应力模型（RSM） 其中： 雷诺应力方程： 模化后的雷诺应力方程： 雷诺应力模型（RSM） 代数应力模型（ASM） 假设雷诺应力方程中的对流项与扩散项近似相等，则可以消去，6个微分方程变成了代数方程 其中： 代数应力模型（ASM） 其中： 控制方程 准代数应力模型 *