- 1、本文档共20页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
学号:
哈尔滨师范大学
学士学位论文
题 目 浅析微分方程解的存在唯一性 学 生 指导教师
年 级
专 业
系 别 数学系
学 院 数学科学学院
哈 尔 滨 师 范 大 学
学士学位论文开题报告
论文题目 浅析微分方程解的存在唯一性
学生姓名
指导教师
年 级
专 业 数学与应用数学
2011 年 11 月 课题来源:
题目自拟
课题研究的目的和意义:
解的存在唯一性定理是微分方程求解、定性分析及数值计算的理论保证,本文总结了定理使用的条件并举出解不唯一的反例,加深对定理的认识和理解。
国内外同类课题研究现状及发展趋势:
近代数学历史中,数学研究的主体都集中于函数理论及其相关问题上,而微分方程,作为函数理论中不可或缺的组成部分,对它的研究从未间断过。以一阶微分方程解的存在性为主要对象的研究,直接关系到高阶微分方程等一系列与数学有关的问题的研究进程,甚至于关系到物理科学、计算机应用科学、生物技术、建筑学及原子物理学等相关理论的研究,因而十分重要。
近年来,国内对于一阶微分方程的研究主要集中在力学、水文和石油钻探领域,随着科学的日益发展和不断进步,此类问题的研究将会陆续不断深入。
课题研究的主要内容和方法,研究过程中的主要问题和解决办法: 主要内容和方法
浅析微分方程解的存在唯一性 微分方程解的存在唯一性定理是方程求解和数值计算的基础。本文运用实例对方程解的存在唯一性进行分析。 1.微分方程初值问题解的存在唯一性定理
2.解的存在唯一性定理实例分析
3. 微分初值问题解的存在唯一性定理的其他应用 主要问题和解决办法 反例的应用及求解,主要通过资料查阅和相关学者访问解决。
课题研究起止时间和进度安排:
起止时间:2011年11月25日-2012年4月15日
2011年11月25日-2011年12月31日 收集论文资料,确定论文题目
2012年1月1日-2012年2月28日 整理论文资料,完成初稿
2012年3月1日-2012年3月31日 教师指导,修改稿
2012年4月1日-2012年4月15日 打印论文,定稿
课题研究所需主要设备、仪器及药品: 计算机、打印机
外出调研主要单位,访问学者姓名:
指导教师审查意见:
同意开题
指导教师 (签字) 年 月 教研室(研究室)评审意见:
同意开题
__分析与方程__教研室(研究室)主任 (签字) 年 月 院(系)审查意见:
同意开题
___数学科学学___院(系)主任 (签字) 年 月
学号:座机电话号码04
哈尔滨师范大学
学士学位论文
题 目 浅析微分方程解的存在唯一性 学 生 指导教师 年 级 专 业 系 别 数学系
学 院 数学科学学院
哈尔滨师范大学
2012年4月
浅析微分方程解的存在唯一性 摘要:微分方程解的存在唯一性定理是方程求解和数值计算的基础。本文运用实例对方程解的存在唯一性进行分析。
关键词:微分方程 解的存在唯一性
实际问题中,我们遇到更多的是带有初值的微分方程的求解,本文分析微分方程解的存在唯一性。
一. 微分方程初值问题解的存在唯一性定理
定理:方程 (1)的右端函数 在闭矩形域上满足条件:
⑴连续,
⑵关于满足李普希兹条件,
则初值问题存在唯一的定义在区间上的解,其中 。
注:
在矩形区域 R: (2)
对满足李普希兹条件:即存在常数,使对所有, 1.初值问题(1)等价于方程 (3) 2.构造得解函数序列 任取一连续函数,代入(3)左端,得 3.函数序列 在上一致收敛到。这里为 即 则需由 则需由于从而 在上的一收敛性等价于函数项级数 在一收敛性。
二.解的存在唯一性定理实例分析
例1. 讨论方程 的解的存在与唯一性。 解: 方程右端函数 在平面上连续,又处连续。 方程在区域内保证初值解存在且唯一,即过区域G内任意一点有且仅有一条积分曲线,而对区域G的边界上任意一点,由于
则可知的邻域中不满足李普希兹条件。 事实上,若存在
即 从而当时,有。但在附近,此式子不可能成立。
因此,对上任意一点,只能断定至少有一条积分曲线通过。
显然,是方程的解。又易求得的通解为,其中c为任意常数。因此,对积分曲线上任意一点,还有另一条积分曲线与它在此点相切。即在上每一点处,解的唯一性均被破坏。
例2. 讨论方程
的解的唯一性。 解: 因右端函数及其偏导数均在区域内每一点只有一条积分曲线通过。而对上任一点,在点的任一领域中连续,但因 ,
则可知在中不满足李普希兹条件。因此,只能断定点至少有一条积分曲线。易知是方程的解。
又可得方程的通解为。这些积分曲线中的任何一条不可能与相交,故对任一点,
文档评论(0)