(中心极限定理).ppt

§3.6 中心极限定理 3.6.2 二项分布的正态近似 【例3.24】某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以95%的概率满足每个分机在用外线时不用等候? 令 查得 故取 于是 所以需要16条外线！ §3.6中心极限定理 【吸烟率调查问题解答】 某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率p，将被调查的成年男子中吸烟的频率作为p的估计，现在要保证有90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于5%，问至少要调查多少对象？ 解：设共调查n个成年男子，记 则Xi独立同分布 n个调查对象中吸烟的人数 §3.6 中心极限定理 【吸烟率调查问题解答】 要保证有90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于5%，问至少要调查多少对象？ 解：吸烟的人数为X，则有 由大数定理知，当n很大时，频率X/n与概率p很接近，可用频率作为p的估计． 依题意，要保证 而 §3.6 中心极限定理 【吸烟率调查问题解答】 要保证有90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于5%，问至少要调查多少对象？ 解：依题意，要保证 而 §3.6 中心极限定理 【吸烟率调查问题解答】 要保证有90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于5%，问至少要调查多少对象？ 解：依题意，要保证 而 令 即 §3.6 中心极限定理 【吸烟率调查问题解答】 要保证有90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于5%，问至少要调查多少对象？ 解：由 查表得 ，所以 从而 又因 p(1-p)?0.25,所以n ? 270.6 即至少要调查271成年男子. 小 结 1. 独立同分布的中心极限定理 2. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 * * * * * * * * * * * * 作 业 第123页：三、3,5,8 第5章 大数定律和中心极限定理 §5.2 中心极限定理 §3.6 中心极限定理 §3.6 中心极限定理 【例3.30】大量的研究表明，误差产生是由大量微小的相互独立的随机因素叠加而成的。 考虑一位操作工在机床上加工机械轴，要求其直径应符合规定要求。但加工后的机械轴与规定要求总会有一定误差，这是因为在加工时受到一些随机因素的影响： (1) 在机床方面有机床振动与转速的影响； (2) 在刀具方面有装配与磨损的影响； (3) 在材料方面有钢材的成分、产地的影响； (4) 在操作者方面有注意力集中程度、当天情绪的影响； (5) 在测量方面有度量工具误差、测量技术的影响； §3.6 中心极限定理 【例3.22】大量的研究表明，误差产生是由大量微小的相互独立的随机因素叠加而成的。 考虑一位操作工在机床上加工机械轴，要求其直径应符合规定要求。但加工后的机械轴与规定要求总会有一定误差，这是因为在加工时受到一些随机因素的影响： (6)在环境方面有车间温度、湿度、照明、工作电压的影响； (7) 在具体场合还可列出许多其他影响因素． §3.6 中心极限定理 由于这些独立因素很多 每个因素对加工精度的影响都是很微小的 每个因素的出现又都是人们无法控制的、随机的、时有时无、时正时负的 这些因素的综合影响最终使每个机械轴的直径产生误差Yn Yn是随机变量：Yn = X1 + X2 +…+ Xn 这里n是很大的，当n??时，Yn的分布是什么？ §3.6 中心极限定理 Yn = X1 + X2 +…+ Xn 当时n??时，Yn的分布是什么？ 当然，可以考虑用卷积公式去计算Yn的分布 但这样的计算是相当复杂的、不现实的，而且也是不易实现的 即使能写出Yn的分布，但由于其形式复杂而无法使用 本节研究 在相当一般的条件下，独立同分布的随机变量的和的分布的收敛问题. §3.6 中心极限定理 3.6.1 独立同分布的中心极限定理 【定理3.1】（独立同分布的中心极限定理）设X1，X2，…，Xn，…为相互独立、服从同一分布的随机变量序列，且E(Xi) = ? ，D(Xi) = ?2 ? 0（i = 1，2，…），则对于任意x，有 林德伯格-莱维(Lindeberg-Levy)定理 该定理是这两位学者在上世纪20年代证明的 §5.2 中心极限定理 林德伯格(Li