高等数学之对坐标的曲线积分要点解析.ppt

高等数学电子案 第二节 对坐标的曲线积分 一 对坐标的曲线积分的概念与性质 1.变力沿曲线所作的功 设一个质点在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B. 在移动过程中,这质点受到力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用, 其中函数P(x,y),Q(x,y)在L上连续,要计算在上述移动过程中 变力F(x,y)所作的功. 力F作的功W等于两个向量F和AB的数量积 我们知道,如果力F是常力,且质点沿直线从A到B点，则常 现在是一个变力,力在变化,方向也在变化，要解决这种变力 使物体做曲线运动时所做的功，我们按定积分的思路和方 法做. 可看成直线段,即质点沿小弧段的运动可为沿直线段的运动. 上可视为常数.力在小弧段所作的功为 (1)分割 从A到B将曲线分成n个小弧段.由于每个小弧段很小, (2)取近似 由于F的变化的连续性,及直线段很小,F在小弧段 x y A B Mi-1 Mi F(ξ,η) 再设点Mi的坐标为(xi,yi)(i=1,2...n),记 是F(x,y)在x轴和y轴上的投影. 设F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j，其中P(x,y)和Q(x,y) 在x轴,y轴上的投影为 则 (3)求和 (4)取极限 令 这就是变力沿曲线所做的功. 现在我们抽去问题的物理意义, 于是 则 得到下面的定义: 在L上有界,按L的方向顺序用分点 把L分成n个小弧段 (i=1,2...n)，小弧段在x,y轴上的 取任意点 定义: 设L是从点A到B的一条有向光滑曲线,函数P(x, y)和Q(x, y) 坐标增量记为 对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分. 记作 若和式 值为函数P(x,y)，Q(x,y)沿曲线L从A到B的对坐标的曲线积分. 当各小弧段长度的最大值 时极限总存在，则称此极限 当Q=0 时, 为P(x,y)对坐标x的曲线积分； 当P=0 时, 为Q(x,y)对坐标y的曲线积分. 上述定义可推广到空间曲线Γ的情况： 按定义,变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j沿曲线L从A到B对质点 做的功,可表示为曲线积分 性质1 性质2 若光滑曲线L=L1+L2 ，则 性质3 设L是有向曲线，L--是与L方向相反的有向曲线，则 性质4说明,对坐标的曲线积分与积分曲线的方向有关， 性质4 这是区别对弧长的曲线积分的重要特征. 二 对坐标的曲线积分的计算方法 定理 设P(x, y), Q(x, y)在有向曲线弧L上有定义且连续， L的参数方程为 当参数t单调地由α变到β时, 点M(x,y)从L的起点A沿L运动 到终点B, φ(t)和ψ(t)在以α及β为端点的闭区间上具有一 阶连续导数，且 则曲线积分 存在，且 根据对坐标的曲线积分的定义，有 它们对应于一列单调变化的参数值 在L上取一点列 证 之间. 与 在 其中 即 对应于参数值 设点 应用微分中值定理，有 由于 之间，于是 与 在 其中 )上的一致连续性,可将上式 (或 在 利用 从而 换成 中的点 连续，这个定积分存在，因此 由于函数 上式右端的和的极限就是定积分 存在，并且有 同理可证： (1)式推广到空间曲线,得到如下公式： P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)是定义在空间曲线上的连续函数. ,其中L为抛物线y2=x上从点A(1,-1)到点 B(1,1)的一段弧. 解法一：把x作为参数,利用对x的定积分 来计算,把L分成AO和OB两段,被积函数 可用积分路线的方程来处理. A(1,-1) B(1,1) x y o 例1 计算 解法二：把y作为参数,利用对y的定积分来计算, x=y2, dx=2ydy， y: -1→1，则 注意: 对弧长的曲线积分的上限必须大于下限.对坐标的 曲线积分的上,下限是按积分的起点为下限,而积分的终点 为上限的.不管对弧长或对坐标的曲线积分,都应该把积分 曲线方程代入被积函数中计算. 例2 计算 其中C是从点A(3,2,1)到点 B(0,0,0)的直线段AB. 解:直线段AB的方程是 化为参数方程得到 x=3t，y=2t，z=t，t从1变到0，所以 例3 计算 其中L为 x A(a,0) B(-a,0) y (1)半径为a，圆心为原点，按逆时针 方向绕行的上半圆周； (2)从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段. 解: (1)L是参数方程为 x=acosθ, y=asinθ 参数θ从0到π的曲线弧 (按逆时针方向)，故 注意：θ从0到π是按逆时针方向. 由于曲线积分的被积函数和积分路线有关，所以尽管被积 函数相同，积分的起点和终点也相同