高等数学函数的单调性和凹凸性要点解析.ppt

一、 函数单调性的判定法 练习. 证明 定理2.(凹凸判定法) 定理2.(凹凸判定法) 例7. 求曲线 * 函数的单调性与 曲线的凹凸性 一、函数单调性的判别法 二、曲线的凹凸与拐点 主要内容： o o a b a b 从导数的几何意义考察函数的单调性： 定理1 严格单调 (2)区间内个别点导数为零,不影响区间的严格单调性. 例如, 注意: (1)定理条件中的闭区间换成一般区间，定理的结论仍然成立； 例1. 解 注意:函数的单调性是一个区间上的性质, 要用 一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性. 导数在这一区间上的符号来判定, 而不能用 令 得 把 分成两个区间 例2. 解: 单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点. 说明: 把函数的定义域区间分成若干个区间， 总结求单调区间的步骤 1．写出函数的定义域，并求出函数的导数 2．求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点) 3．以导数等于零的点、不可导点为分点， 并确定导函数在各个区间内的符号， 从而确定函数在每个区间内的单调性。 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 练习 解 5/21 例4 证 注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。 时, 成立不等式 证: 令 从而 因此 且 二、曲线的凹凸与拐点 图形上任意弧段位于所张弦的上方。 图形上任意弧段位于所张弦的下方。 问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向? 定义1 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . * 曲线凹凸的判定 定理2 (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . 证: 设函数 在区间I 上有二阶导数 只证(2) 由定义只须证： 只须证： 只须证： 记作 只须证： (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . 证: 设函数 在区间I 上有二阶导数 只证(2) 由定义只须证： 只须证： 分别在区间 上应用拉格朗日中值定理? 得 这说明 在 I 内单调递减. * 例5 判断曲线 的凹凸性. 解 上是凸的. * 例6 解 注意到, 定义2 若连续曲线 在其上一点 的两侧凹凸性相反，则称此点为曲线 的拐点. x y o y =f (x) 注：拐点是凹弧与凸弧的分界点 证 注意: 例如, 例如, y x o y x o 1．写出函数的定义域，并求出函数的导数及二阶导数 2．求出二阶导函数的零点、和不存在的点 3．检查这些点左右两侧符号，从而判定曲线的凹凸性 注意 判断曲线的凹凸性和拐点的步骤： 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3) 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 凹 凹 凸 例8 讨论 的凹凸性及拐点. 解： x y o · 1 凹 非拐点 凹 拐点 凸 y ＋ 不存在 ＋ 0 － 0 x 曲线的凹凸性反映的是不等式关系： (1) 若曲线的图形是凹的（即 ），则有 (2) 若曲线的图形是凸的（即 ），则有 注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。