飞行器结构动力学单自由度系统的振动要点解析.ppt

系统的响应为: 相角φ由（2-38）式给出。将上改写为 可得: 在这一例子中，可将无量纲比写为 的图形与 的图形完全不同，这将于稍后叙述。 2.2 单自由度系统的强迫振动 例2-5 研究一种基础激振的情况。如图2-18所示: 解:系统的运动微分方程有如下形式 : 图2-18 例2-5题图 简化为: 设基础的运动为简谐运动，有如下形式 则系统的响应为 2.2 单自由度系统的强迫振动 将 简写成 那么 无量纲比可写为 2.2 单自由度系统的强迫振动 ? 简谐振动的复指数描述 有阻尼系统的简谐激振力和在激振力作用下的响应的复指数描述，可以通过在复平面上的几何图形来说明，将（2-60）式两边对求导得 （2-64） 所以振动速度超前位移 π/2相角，加速度超前位移π相角，并且分别放大ω和ω2的因子。 据上所述，可以将方程（2-42）在复平面上绘图如图2-19，不失一般性地设A为实数。 我们知道 2.2 单自由度系统的强迫振动 , 图2-19说明复向量 ， 　 与 的和与 平衡，这正是方程（2-42）所必须满足的。 图2-19 简谐振子的复平面表示 注意，整个图形绕着复平面以角速度ω旋转。从图中也可以看出，由于整个图形是封闭的，成为一个平衡系统，所以仅考虑实部就相当于将图中各分量投影于实轴上。理论上讲，投影于任何轴上都不改变系统各向量之间的关系。 2.2 单自由度系统的强迫振动 ? 叠加原理 这里重新考虑图2-5所示的二阶线性系统。上节已经导出了系统受任意激励 的微分方程 （2-65） 在工程上，经常又将 和 分别称为系统的输出和输入。为了分析方便，引入线性微分算子 （2-66） 这样，（2-65）可简写为 （2-67） 2.2 单自由度系统的强迫振动 微分算子 代表二阶系统的一个“黑盒子”，它包含了系统的所有性质，因为系统的参数 、 、 都在算子中。方程（2-67）表明，如果系统有一个输入作用于黑合子 ，则系统的输出就是 。 考虑两个激励 和 ，并设 和 分别为对应于 和 的响应，则有 （2-68） 接下来考虑 为 和 的线性组合，即 （2-69） 2.2 单自由度系统的强迫振动 则称系统是线性的，否则系统是非线性的。应用方程（2-68）、（2-69），（2-70）可以用微分算子的G形式表示，即 方程（2-71）为叠加原理的数学描述。很明显，它仅适用于线性系统。换句话说，叠加原理可理解为，对于线性系统，可以先分别求解系统对于单独激励的响应，然后将各个响应合成为系统的总响应。 （2-70） （2-71） 如果 的响应 满足 2.2 单自由度系统的强迫振动 2.2.2 系统对周期激励的响应 在工程振动中，也遇到大量其他类型的非简谐周期激励。利用Fourier级数展开的方法，可以将周期为T 的任何函数展成如下形式 （2-72） 和 由右式求得 （2-73） , 2.2 单自由度系统的强迫振动 为了求解方便，将（2-73）式用复数形式表示 （2-74） 这里 为复常数，由下式给定 由复数运算规律得,(2-74)式等效于下式 其中 （2-75） 2.2 单自由度系统的强迫振动 （2-76） （2-77） 这里， 为对应于频率为 的复频响应，即 有阻尼单自由度系统对于（2-76）式所示激励的响应，可以求得下式 （2-78） （2-79） ?类似地，解（2-78）可写成 （2-80） 2.2 单自由度系统的强迫振动 为 的模，而 （2-81） ? 由解的表达式（2-78）和（2-80）可看出，对于周期激励的响应 也是周期的，且与 有同样的周期。另外，当某个 接近系统的自然频率 时，系统的响应中此简谐分量将占主导地位，特别是当 时，系统均发生共振，也就是说周期激励同样可以激起系统共振，只要某 与 重合。 2.2 单自由度系统的强迫振动 2.2.3 非周期激励的响应 在非周期激励的情况下，系统的响应将不再是“稳态”的，而是“非稳态”的。求解系统在非周期激励下瞬态响应的方法有多种，将