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14.系统的稳定性分析习题
第4章作业， 4.34.4，4.5，4.6，4.8，4.9，4.12，4.13
4.3 Lyapunov稳定性的定义是什么？它适用于哪些系统？
答：Lyapunov稳定性理论有两个特点：一是处理的系统干扰只是“初始干扰”，而不是像持续风力干扰的“持续干扰”，二是处理的稳定性只是在某个平衡点附近的稳定性，只有当系统有唯一一个平衡点时，讨论的稳定性才可视为整个系统的稳定性。Lyapunov稳定性理论适用于各类动态系统。
4.4 怎样判别二次型函数的正定、负定、半正定、半负定？
答：根据Sylvester判据4.5 确定下列二次型是否为正定
解：1）；； 不定
2）；； 负定
3）；； 正定
4.6 确定下列二次型是否为负定
解：；； 负定
4.8 如果一个系统的Lyapunov函数确实不存在，是否能判定此系统不稳定？
答：如果一个系统的Lyapunov函数确实不存在，那么也不能判定此系统稳定还是不稳定，必须用其他方法判断，甚至无法判断。
4.9 确定下列非线性系统在原点处的稳定性，考虑二次型函数是否可以作为一个可能的Lyapunov函数。
解：
，是不定式，不能作为Lyapunov函数。
4.12 系统的状态方程为，计算状态轨迹从出发到达区域内所需要的时间。
解：对线性定常系统，是非奇异实数矩阵，，，，满足负定的充要条件，所以系统在是大范围渐近稳定平衡点Lyapunov函数为，虽然可以验证
，但并不能解决问题。
取，
由此可以解出：，，
因此，收敛到0的时间常数上界为。
4.13 分析线性时不变离散系统在原点的稳定性。
解：选取，则离散Lyapunov方程为
，，，满足的正定的充要条件，根据定理4.5.3，线性时不变离散系统在原点处渐近稳定。
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