2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第27讲三角法与向量法解平面几何题(正).doc

第八讲 三角法与向量法解平面几何题 相关知识 在中,R为外接圆半径,为内切圆半径,,则 1,正弦定理:, 2,余弦定理:,,. 3,射影定理:,,. 4,面积: = = . A类例题 例1．在ΔABC中，已知b=asinC ,c=asin(900-B)，试判断ΔABC的形状。 分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。 解 由条件c = asin(900 - B) = acosB = . ΔABC是等腰直角三角形。 例2．（1）在△ABC中，已知cosA =，sinB =，则cosC的值为（ ） A． B． C． D． 解 ∵C = ( ( (A + B),∴cosC = ( cos(A + B),又∵A((0, (),∴sinA = ,而sinB = 显然sinA sinB ,∴A B , ∵A为锐角, ∴B必为锐角, ∴ cosB = ∴cosC = ( cos(A + B) = sinAsinB ( cosAcosB =.选A. 说明 △ABC中,sinA sinB A B . 根据这一充要条件可判定B必为锐角。 （2）在Rt△ABC中，C＝90°，A＝θ，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ， 当θ为 时，的值最小。 解答 由题意，R＝，r＝．（其中a、b、c为Rt△ABC的三条边长，c为斜边长）∴＝＝＝． ∵sin（α＋）≤1，∴≥＝＋1． 当且仅当θ＝时，的最小值为＋1。 例3 在△ABC中，＝，求证：B、A、C成等差数列。 分析 由于条件等式是关于三角形的边、角关系，而要证的结论只有角的关系，故应运用正弦定理将边转化为角。而B、A、C成等差数列的充要条件是A＝60°,故应证A＝60°。 证明 由条件得＝．∵sin（A＋B）＝sinC， ∴sin（A－B）＝sinC－sinB，∴sinB＝sin（A＋B）－sin（A－B）＝2cosAsinB． ∵sinB≠0，∴cosA＝，A＝60°．∴B、A、C成等差数列。 例4 ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为，若 ，求角C的大小。 解 由=cosB，故B=，A＋C=. 由正弦定理有：， 又sinA=sin(-C)=，于是 sinC=cosC，tanC=1, C=。 A＋C=,要求C需消去A。 说明 解本题时首先要运用正弦定理将边的关系转化为角的关系，从而得关于A、C的两个方程 链接 1．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）己知两角和任一边，求其它两边和一角； （2）己知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角)。己知两边和其中一边的对角解三角形，有一解或两解。 2．利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）己知三边，求三个角； （2）己知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。 3．解斜三角形：要明确三角形的六个元素(三条边、三个内角)中己知什么，求什么。再运用三角形内角和定理、正弦定理与余弦定理解题。 4．研究三角形的边角关系和判断三角形的形状：运用三角形内角和、正弦定理与余弦定理及三角变换公式，灵活进行边角转换。 三角形中的边角关系式和三角形形状的判断证明，都可归入条件恒等式证明一类，常用到互补、互余角的三角函数关系。 情景再现 1 △ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B. 2．ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且 （1）求的值 （2）设，求的值 3 已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+. 若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y的最小值. B类例题 例5 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2． （１）用a，表示S1和S2； （２）当a固定，变化时，求取最小值时的角。 解（1） 设正方形边长为，则 （2）当固定，变化时， 令 ，用导数知识可以证明：函数在是减函数，于是当时，取最小值，此时。 说明 三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注。 例6如图，A、B是一矩 OEFG