2013四川省资中中考数学压轴题.doc

菁优网  （2012?资阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP． （1）BD=DC吗？说明理由； （2）求∠BOP的度数； （3）求证：CP是⊙O的切线； 如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息： 为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”． 考点： 切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理．2893581 专题： 探究型． 分析： （1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC； （2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以∠BAD=∠CAD，故=，进而可得出BD=DE，故BD=DE=DC， 所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性质可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°； （3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由∠OAG=30°，可知=，由于==，所以=，=，再根据∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切线． 解答： （1）解：BD=DC． 连接AD，如图1， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∵AB=AC， ∴BD=DC； （2）解：∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线， ∴∠BAD=∠CAD， ∴=， ∴BD=DE， ∴BD=DE=DC， ∴∠DEC=∠DCE， ∵△ABC中，AB=AC，∠A=30° ∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°， ∴∠DEC=75° ∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30° ∵BP∥DE， ∴∠PBC=∠EDC=30°， ∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45° ∵OB=OP， ∴∠OBP=∠OPB=45°， ∴∠BOP=90°； （3）证明：证法一： ∵设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP=90° ∴OP⊥AB 在Rt△AOG中， ∵∠OAG=30°， ∴=， 又∵==， ∴=， ∴=， 又∵∠AGO=∠CGP ∴△AOG∽△CPG， ∴∠GPC=∠AOG=90°， ∴CP是⊙O的切线． 证法二：过点C作CH⊥AB于点H，如图2，则∠BOP=∠BHC=90°， ∴PO∥CH 在Rt△AHC中， ∵∠HAC=30°， ∴CH=AC， 又∵PO=AB=AC， ∴PO=CH， ∴四边形CHOP是平行四边形 ∵CH⊥AB， ∴四边形CHOP是矩形， 又∵点P在圆O上， ∴∠OPC=90°，即OP⊥PC， ∴CP是⊙O的切线． 点评： 本题考查的是切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，在判定圆的切线时构造直角三角形，再利用直角三角形的性质去证明过圆心的直线与切线垂直．  菁优网 ?2010-2013 菁优网