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2014届高三数学辅导精讲精练67
2014届高三数学辅导精讲精练67
1.与直线4x-y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是 ( )
A.4x-y+1=0 B.4x-y-1=0
C.4x-y-2=0 D.4x-y+2=0
答案 C
解析 y′=4x=4,x=1,y=2,过(1,2)斜率为4的直线为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.
2.(2013·石家庄质检)已知抛物线y2=2px,直线l经过其焦点且与x轴垂直,并交抛物线于A、B两点,若|AB|=10,P为抛物线的准线上一点,则ABP的面积为 ( )
A.20 B.25
C.30 D.50
答案 B
解析 本题主要考查直线与抛物线的位置关系、通径的概念、抛物线的简单几何性质.属于基础知识、基本运算的考查.抛物线y2=2px,直线l经过其焦点且与x轴垂直,并交抛物线于A、B两点,则|AB|=2p,|AB|=10,所以抛物线方程为y2=10x,P为抛物线的准线上一点,P到直线AB的距离为p=5,则ABP的面积为×10×5=25.
3.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标为 ( )
A.(2,±2) B.(1,±2)
C.(1,2) D.(2,2)
答案 B
解析 设A(x0,y0),F(1,0),=(x0,y0),
=(1-x0,-y0),·=x0(1-x0)-y=-4.
y=4x0,x0-x-4x0+4=0x+3x0-4=0,x1=1,x2=-4(舍).
x0=1,y0=±2.
4.已知坐标原点为O,A、B为抛物线y2=4x上异于O的两点,且·=0,则||的最小值为 ( )
A.4 B.8
C.16 D.64
答案 B
解析 由于·=0,设直线OA、OB的方程为y=kx、y=-x,分别与抛物线方程联立求得A,B(4k2,-4k),|AB|==4≥8,故选B.
5.已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)(1,+∞)
B.
C.(-∞,-2)(2,+∞)
D.(-∞,-)(,+∞)
答案 D
解析 如下图,设过A的直线方程为y=kx-1,与抛物线方程联立得x2-kx+=0,Δ=k2-2=0,k=±2,求得过点A的抛物线的切线与y=3的交点为(±,3),则当过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,实数t的取值范围是(-∞,-)(,+∞),故选D.
6.长为l(l1)的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上滑动,则线段AB中点M到y轴距离的最小值是 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由l2p=1,则当ABx轴时,x0取得最小值,即.故选D.
7.直线l经过抛物线y2=2px(p0)的焦点F,且与抛物线交于P、Q两点,由P、Q分别向准线引垂线PR、QS,垂足分别为R、S.若|PF|=a,|QF|=b,M为RS的中点,则|MF|的值为 ( )
A.a+b B.(a+b)
C.ab D.
答案
D
解析 根据抛物线的定义,有|PF|=|PR|,|QF|=|QS|.易知RFS为直角三角形,故要求的是直角三角形斜边上的中线长.
在直角梯形PRSQ中,容易求得
|RS|=2.
故|FM|=|RS|=.
8.已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为 ( )
A. B.
C.(1, 2) D.(1,-2)
答案 A
解析 焦点F(1,0),准线为l:x=-1.过Q点作直线l的垂线交抛物线于P点,交准线l于M点,则|QP|+|PF|=|QP|+|PM|=|QM|=3为所求的最小值,此时P.
9.设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若++=0,则||+||+||= ( )
A.9 B.6
C.4 D.3
答案 B
解析 焦点F坐标为(1,0),设A、B、C坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).
=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),=(x3-1,y3).
++=0,
x1-1+x2-1+x3-1=0.
x1+x2+x3=3.
||+||+||
=++
=++
=x1+1+x2+1+x3+1=6.
10.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p0)的焦点,A是抛物线上的一点,与x轴正向的夹角为60°,则||为 ( )
A. B.
C.p D.
答案 B
解析 设A(x0,y0)(y00),
则过A作ABx轴于B.
则|BF|=x0-,|AF|=x0+.
又AFB=60°,|AF|=2|BF|.
x0=p,y0=p.
∴|OA|==.
11.(2012·陕西)右图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离
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