2014辽宁12题16题详解.doc

一些老师对这道题存有疑问，认为不严谨，如熊昌进老师的博客：/s/blog_64e168d30101w3uj.html，文中构造了一个特殊的函数说明了无选项。其实这是对题目意思的误解，题目中的函数 具有任意性，不是单单对某个函数而言。如果非要说题目不严谨，笔者也不否认，可将题目加上几个字使之严谨。也就是说，将题目改为：若对所有，以及满足条件（1）（2）的任意函数有，则的最小值为（ ）。这样，题目就更加严谨了。于是题目的最小值为。选B。 下面我们将证明这一点。先证 。 由于对称性，不妨设 。 若 ，则； 若，有， 则 所以。 再证。为了证明这一点，我们需要构造一族函数。我们构造如下函数： （其中 是远小于 的正数） 显然有。接下来再验证条件（2）。同样不妨设。 （i）当 时， （ii）当时， ； （iii）当时， （因为此时有和，所以 ）。 又因为，所以，由于的任意性，令趋近与0，可得。 结合以上，所以有。 有一点我们要指出，题目中得条件（1）是多余的，只要有即可。