2一元微分学的概念性质与计算压缩打印版(高基上午).doc

一元微分学的概念、性质与计算 　 ， 函数在点处可导，则其所示曲线在点处有切线，反之不然. （二）基本函数的导数及高阶导数表 ； ，. （三）导数与微分的运算法则 ， 对幂指函数也可用对数求导法，其适用于幂指函数、连乘、连除、开方、乘方等； ； 设二阶可导，且，则，； 设二阶可导，若由所确定， 则 ，. 二、典型例题 题型一 可导性的判定 1、设函数在处连续，则是的(A) (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也非必要条件 2、设，则是的(B) (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也非必要条件 注1：是的(C) ，但是的(B) ． 提示：取,则，但在处非右连续． 注2：若设函数在处连续，则是的(D)，但是的(A)． 3、设存在但不相等，则下列命题正确的是(B) (A) 在处不连续 (B) 在处连续但不可导 (C) 为的跳跃间断点 (D) 为的跳跃间断点 注1：为的跳跃间断点存在但不相等； 为的可去间断点存在且相等； 注2：设在处连续，且存在且相等在处连续． 4、设在处连续，则下列命题正确的个数为(D) (1) 若在处可导，则 (2) 若在处连续，则 (3) 若，则 (4) 若，则 (A) (B) (C) (D) 5、函数不可导点的个数为． 6、设，在连续，但不可导，又存在，求证：是在可导的充要条件． 题型二 求导（微）的计算 例1、设，求． 例2、设，求． 例3、设，求． 例4、函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为，则．(提示：) 例5、设是方程所确定的函数，求及． 例6、 求． 例7、设严格单调函数具有二阶导数，其反函数为且满足 ，则． 例8、设二阶可导，且，求 求． 例9、设是由方程组所确定的隐函数，求． 例10、已知是由方程确定，则 ． 例11、求函数的导数． 例12、对于函数 ,问选取怎样的系数才能使得处处具有一阶连续导数，但在处却不存在二阶导数． 题型三 高阶导数的计算 例1、设，则．例2、设，求． 例3、设，求． 例4、设，求，． 三、课后练习 1(A)、设存在，则． 2(A)、设在处连续，且，则． 3(B)、若，且,则． 4(A)、设函数在处连续，下列命题错误的是( ) (A)若存在，则 (B)若存在，则 (C)若存在，则存在(D)若存在，则存在 5(A)、设，则在点可导的充要条件是( ) (A) 存在 (B)存在 (C) 存在 (D) 6(B)、设可导，，则是在处可导的( ) (A) 充要条件 (B)充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件 7(A)、函数不可导点的个数是． 8(A)、设则使存在的最高阶数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 9(B)、设，则在内( ) (A) 处处可导(B) 恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D) 至少有三个不可导点 10(A)、设，其中是有界函数，则在处( ) (A)极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导点 11(B)、设在处连续，则下列命题正确的个数为( ) (1) 若，则 (2) 若，则 (3) 若，则 (4) 若，则 (A) (B) (C) (D) 12(A)、设为不恒等于零的奇函数，且存在，则为的( ) (A) 连续点 (B) 跳跃间断点 (C) 可去间断点 (D) 第二类间断点 13(A)、若为偶函数，且存在，求证：． 14(A)、设函数的图形如图所示，则在处的及的正负号为（ ） （A） （B） （C） （D） 15(A)、设可微，, 则. 16(A)、设在的某邻域内可导,且, ，则. 0 17(A)、设函数，其中为正整数，则=( ) . 18、计算下列导数（微分）： （1）(A)设，则. （2）(A)设，求. （3）(A)若由确定，则. （4）(B)设，其中具有二阶导数，且，求. （5）(A)设，其中可导，且，则. （6）(A)设由所确定，则. （7）(B)设函数则. （8）(B)设，则. （9）(A)设，则. （10）(A)则. （11）(B)设函数，则当，. 19(A)、设，则 . 20(A)