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2一元微分学的概念性质与计算压缩打印版(高基上午)
一元微分学的概念、性质与计算
,
函数在点处可导,则其所示曲线在点处有切线,反之不然.
(二)基本函数的导数及高阶导数表
;
,.
(三)导数与微分的运算法则
,
对幂指函数也可用对数求导法,其适用于幂指函数、连乘、连除、开方、乘方等;
;
设二阶可导,且,则,;
设二阶可导,若由所确定,
则 ,.
二、典型例题
题型一 可导性的判定
1、设函数在处连续,则是的(A)
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也非必要条件
2、设,则是的(B)
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也非必要条件
注1:是的(C) ,但是的(B) .
提示:取,则,但在处非右连续.
注2:若设函数在处连续,则是的(D),但是的(A).
3、设存在但不相等,则下列命题正确的是(B)
(A) 在处不连续 (B) 在处连续但不可导
(C) 为的跳跃间断点 (D) 为的跳跃间断点
注1:为的跳跃间断点存在但不相等;
为的可去间断点存在且相等;
注2:设在处连续,且存在且相等在处连续.
4、设在处连续,则下列命题正确的个数为(D)
(1) 若在处可导,则 (2) 若在处连续,则
(3) 若,则 (4) 若,则
(A) (B) (C) (D)
5、函数不可导点的个数为.
6、设,在连续,但不可导,又存在,求证:是在可导的充要条件.
题型二 求导(微)的计算
例1、设,求.
例2、设,求.
例3、设,求.
例4、函数可导,当自变量在处取得增量时,相应的函数增量的线性主部为,则.(提示:)
例5、设是方程所确定的函数,求及.
例6、 求.
例7、设严格单调函数具有二阶导数,其反函数为且满足
,则.
例8、设二阶可导,且,求 求.
例9、设是由方程组所确定的隐函数,求.
例10、已知是由方程确定,则 .
例11、求函数的导数.
例12、对于函数 ,问选取怎样的系数才能使得处处具有一阶连续导数,但在处却不存在二阶导数.
题型三 高阶导数的计算
例1、设,则.例2、设,求.
例3、设,求.
例4、设,求,.
三、课后练习
1(A)、设存在,则.
2(A)、设在处连续,且,则.
3(B)、若,且,则.
4(A)、设函数在处连续,下列命题错误的是( )
(A)若存在,则 (B)若存在,则
(C)若存在,则存在(D)若存在,则存在
5(A)、设,则在点可导的充要条件是( )
(A) 存在 (B)存在
(C) 存在 (D)
6(B)、设可导,,则是在处可导的( )
(A) 充要条件 (B)充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件
7(A)、函数不可导点的个数是.
8(A)、设则使存在的最高阶数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
9(B)、设,则在内( )
(A) 处处可导(B) 恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D) 至少有三个不可导点
10(A)、设,其中是有界函数,则在处( )
(A)极限不存在 (B) 极限存在,但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导点
11(B)、设在处连续,则下列命题正确的个数为( )
(1) 若,则 (2) 若,则 (3) 若,则 (4) 若,则
(A) (B) (C) (D)
12(A)、设为不恒等于零的奇函数,且存在,则为的( )
(A) 连续点 (B) 跳跃间断点 (C) 可去间断点 (D) 第二类间断点
13(A)、若为偶函数,且存在,求证:.
14(A)、设函数的图形如图所示,则在处的及的正负号为( )
(A) (B)
(C) (D)
15(A)、设可微,,
则.
16(A)、设在的某邻域内可导,且,
,则. 0
17(A)、设函数,其中为正整数,则=( ) . 18、计算下列导数(微分):
(1)(A)设,则.
(2)(A)设,求.
(3)(A)若由确定,则.
(4)(B)设,其中具有二阶导数,且,求.
(5)(A)设,其中可导,且,则.
(6)(A)设由所确定,则.
(7)(B)设函数则.
(8)(B)设,则.
(9)(A)设,则.
(10)(A)则.
(11)(B)设函数,则当,.
19(A)、设,则 .
20(A)
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