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范水高级中学2008-2009学年度第一学期综合试卷4 一、填空题（每小题5分，共70分） 1、函数的小正周期是 。 2、直线经过点，且与直线垂直，则的方程是 。 3、复数z满足，则复数的模等于 。 4、某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用的时间的数据如下表： 阅读时间（小时） 0 0.5 1 1.5 2 人数 5 20 10 10 5 由此可以估计该校学生在这一天平均每人的课外的阅读时间为 小时。 5、已知函数(图象如图所示，则的值是 。 6、如图，将一个棱长为3的正方体木块表面涂上蓝色，然后锯成棱长为1的小正方体，从中任取一块，则这一块至少有两面涂有蓝色的概率是 。 7、已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 。 8、抛物线上一点A到焦点的距离为，则点A到轴的距离是 。 9、在直角中,,,,为斜边的中点，则 = 。 10、已知全集,集合,，则= 。 11、在中,角所对的边分别为，则 。 12、执行如图所示的程序框图，则输出的 。 13、下列四个命题： ①是成立的充要条件； ②是成立的充分不必要条件； ③函数为奇函数的充要条件是 ④定义在R上的函数是偶函数的必要条件是。 其中真命题的序号是 。（把真命题的序号都填上） 14、已知函数定义域是，值域是，则满足条件的整数数对有 对。 二、解答题 15、（本题满分14分） 已知为锐角，，，求和的值。 16、（本题满分14分） 如图，在棱长都相等的正三棱柱中，分别为，的中点。 （1）求证：； （2）求证： 17、（本题满分14分） 已知点在椭圆上,以为圆心的圆与轴相切于椭圆的右焦点。 （1）若圆与轴相切,求椭圆的离心率； （2）若圆与轴相交于两点，且是边长为2的正三角形，求椭圆的方程。 18、（本题满分16分） 某隧道长2150m，通过隧道的车速不能超过m/s。一列有55辆车身长都为10m的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为40m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当时，相邻两车之间保持20m的距离；当时，相邻两车之间保持m的距离。自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为。 （1）将表示为的函数。 （2）求车队通过隧道时间的最小值及此时车队的速度。 19、（本题满分16分） 设数列是公差不为0的等差数列，为其前项和，数列为等比数列，且 ，，。 求数列和的通项公式及； （2）设数列满足，问当为何值时，取得最大值？ 20、（本题满分16分） 已知函数 （1）若函数在处的切线方程为，求的值； （2）若函数在为增函数，求的取值范围； （3）讨论方程解的个数，并说明理由。 范水高级中学2008-2009学年度第一学期综合试卷4 参考答案 填空题 1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、 9、；10、；11、13；12、；13、①③；14、. 二、解答题 15、解： 为锐角 16、（1）取中点，连结， 分别为的中点， ，且 又正三棱柱， 四边形为平行四边形。 所以 由可得，取中点 正三棱柱，。 平面，， 为的中点，， ， ， ， 17、解：（1）设，圆M的半径为。 因为椭圆的右焦点的坐标为，圆M与轴相切于点， 所以，所以 ① 因为 点M在椭圆上，所以 将上式代入上式得 ， 因为 所以 即： ② 又因为圆M与轴相切，所以M到轴的距离等于半径，即： ③ 由①，②，③得 即： 从而得 两边同除以，得：（，， 解得： 因为 。 （2）如图，因为是边长为2的正三角形，所以圆M的半径， M到圆轴的距离 又由（1）知：， 所以，， 又因为 从而有 解得： 或 （舍去） 所求椭圆方程是： 18、（1）解：当时， 当时， 所以， 当时，在时，