一元二次方程知识总结及习题.docVIP

一元二次方程的定义与解法 知识点一 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。 注：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。 ③未知数的最高次数是2。 同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。 例 下列关于的方程，哪些是一元二次方程？ ⑴；⑵；（3）；（4）；（5） 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。 注：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。 例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）； （2）； （3） 例2 已知关于的方程是一元二次方程时，则 知识点三 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解 例 1 关于的一元二次方程有一个根为0，则 例2 已知关于的一元二次方程有一个根为1，一个根为，则 ， 例3 已知c为实数，并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程的一个根，求方程的根及c的值。 知识点四 一元二次方程的解法 (1)开平方法：若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 如：的解是； 的解是； 的解是 例 用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）； （2）； （3） （2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。 注：配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式； ④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。 例 用配方法解下列一元二次方程 （1）； （2） （3）公式法：一元二次方程的根 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为； 当时，方程无实数根. 注：公式法的一般步骤： 把一元二次方程化为一般式； ②确定的值； ③代入中计算其值，判断方程是否有实数根； ④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 例 用公式法解下列方程 （1）； （2）； （3） （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则； ②因式分解法的一般步骤： ①将方程的右边化为0； ②将方程左边分解成两个一次因式的乘积。 ③令每个因式分别为0，得两个一元一次方程 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 例 用因式分解法解下列方程 （1） （2） （5）解含有字母系数的方程 ①含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型； 对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 例 解含有字母系数的方程（解关于x的方程）： （1） （2） （） 基础练习： 1．开平方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 2．配方法解方程： （1） （2） 3．公式法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 4．因式分解法解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） 5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）： （1） （2） （3） （4） 6．解含有字母系数的方程（解关于x的方程）： （1） （2） 提高练习： 一、填空题 1、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。 2、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。 3、 。 4、若，