研究生数值分析二元插值精要.ppt

l1(x, y)的图形是空间三角形 分片线性插值 P(x, y)=l1(x, y)z1+l2(x, y)z2+l3(x, y)z3 图形是空间三角形 作业 课后习题：2、4、6、8、9、11、13、16 * 朱立永 北京航空航天大学 数学与系统科学学院 Email: numerical_analysis@ Password:buaa2015 答疑时间：星期一下午15:00－17:00 答疑地点：双周：西配楼519室， 单周：主南307 第十四讲分段插值和二元函数插值 第五章插值与逼近 插值有多种方法：Lagrange 插值、Newton插值、Hermite插值等多种方式。 插值是数值逼近的一种手段，而数值逼近是为得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。 那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？ 插值多项式的收敛性 我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2， …，n) 上的n次插值多项式Pn (x) 的余项 设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当f(x)充分光滑时，若余项随n增大而趋于0时，这说明可用增加节点的方法达到这个目的。那么实际是这样吗？ 插值节点的增多, 尽管使插值多项式在更多的插值节点上与函数 f(x) 的值相等,但在两个节点之间Pn(x)不一定能很好地逼近 f(x) , 有时误差会大得惊人,著名的龙格(Runge)现象证实了这个观点. 例:1901年龙格(Runge) 给出一个例子: 龙格(Runge)现象 两等分三节点 四等分5节点 10等分11节点 Runge 现象 事实上，可以证明，对1/(1+25x^2)这个函数在[-1,1]区间内用n+1个等距节点作插值多项式，当n趋于无穷大时，插值多项式只能在|x|0.36内收敛，而在这个区间之外是发散的，类似这样的现象称为Runge现象. 龙格(Runge)现象表明插值多项式序列不收敛，实际上，严格的理论分析可知插值多项式序列确是不收敛的，而且高阶插值还是不稳定的。 因此实际应用中常采用分段低次插值。 （1）分段线性插值 （2）分段二次插值与分段三次插值 （3）分段Hermite插值 (4) 分段三次样条插值 因此，实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。 那么如何提高插值精度呢？ 定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点 a= x0 x1x2…xn-1xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…,yn-1 ,yn ,若函数?(x)满足条件 (1) ?(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上是线 性插值多项式; (2) ?(xi )= yi,i=0,1,2,…,n (3) ?(x)在区间[a , b]上连续; 则称?(x)是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值多项式。 1.问题的提法 分段线性插值问题的解存在唯一. 一、分段线性插值多项式 2.分段线性插值函数的表达式 由定义， ?(x)在每个子区间[xi ,xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上是一次插值多项式; 分段线性插值曲线图： x0 x1 … xi xi+1 … xn x0 … xi-1 xi xi+1 … xn x0 x1… xi … xn-1 xn 收敛性 用分段线性插值逼近上述例子的效果，取 n =10。 3.分段线性插值函数的余项 注意: h随分段增多而减少，因此用分段插值提高精 度是很好的途径. 定理：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x) ， 且| f″(x)| ≤ m2, 记： h = max |xi+1-xi|,就有估计： |R(x)| = |f(x)- ?(x) | ≤ m2h2/ 8 , x∈[a, b]。 分段二次插值与分段三次插值 分段低次插值优点：计算简便，收敛性有保证，数值稳定性又好且易在计算机上实现等优点 不足：不能保证整条曲线的光滑性，从而不能满足某些工程技术上的要求。 样条插值：从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来的样条插值（spline)方法，既保留了分段低次插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑性，在许多领域有越来越广泛的应用。 二元函数插值 矩形区域上函数f(x, y)的双线性插值 x1 x2