尺缩公式的推导.doc

尺缩公式的推导 推法一，利用时间膨胀公式推出尺缩公式 如图，坐标系S上有静止的两点P和P’，P与S的原点O重合。坐标系S’相对于S向x轴的正方向运动，运动速度为v。现在假设S’的原点从P点运动到P’点。 在S中观察，P与P’的距离就是S’经过的距离，设此距离（PP’）为l，则 l = vt （1） 在S’中观察，P与P’的距离是S’自身经过的距离，设此距离（PP’）为l’，则 l’= vt’ （2） 所以 因为S与S’相互运动，相对运动速度为v不变，则约去v： （3） 要注意的是，S与S’是互相运动的，所以在S和S’中测量的时间t和t’会有所不同，两个时间值满足时间膨胀公式： （4） 把（4）代入（4）得： 所以尺缩（长度收缩）公式： 推法二，利用图像推导尺缩公式 如图甲，S’相对于S向x轴的正方向运动，运动速度为v。在S’上有两面分别于坐标轴垂直的镜子A和B，A、B距原点O’的距离都为l’。 S’从S的左边开始运动，当O与O’重合时，从O’向上和向右同时发射两道光束，在S’中观察，光束经镜子的反射，最终同时回到O’并相遇。 根据相对论，两个同时同地发生的事件在其他任何坐标系中也同时同地发生，所以在S中观察，这两束光也是同时到达原点（同一个点）的。 如图乙，如以S’为参考坐标系（静止的），则可以说S在向左运动。则在S中观察，沿y轴运动的光线会有图中的运动路线。设坐标系从O’1运动到P点所需的时间为t1。 仔细观察图中的标注，根据勾股定理，在Rt△APO’1中， （1） 如图丙，图丙在S中观察（以S为静止的参考坐标系），S’在向右运动，则可观察到光线走过的路程并不是镜子距原点O’的距离。而因为在S中观察，所以设镜子距原点的距离为l，而不是l’。 因为两坐标系是相互运动的，所以光线“从原点到镜子”与“从镜子返回原点”的时间不同，设两时间分别为t2和t3。 （I）中是光束从O向右发射，并到达镜子B的过程。因为两坐标系在运动，所以“坐标系经过的路程”+“S’中观察的光经过的路程（原点距镜子的距离）”=“S中观察的光经过的路程”，即： （2） （II）中是光束从镜子反射回O点的过程。因为两坐标系在运动，所以光线“坐标系经过的路程”+“S中观察的光经过的路程”=“S’中观察的光经过的路程（镜子距原点的距离）”，即： （3） 因为两个同时同地发生的事件在其他任何坐标系中也同时同地发生，所以在S中观察，这两束光也是同时到达原点（同一个点）。所以 2t1 = t2+t3 即2×(1)=(2)+(3)： 所以尺缩（长度收缩）公式：