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常见题型解决方法归纳反馈训练及详细解析专题50轨迹方程的求法
第50讲:轨迹方程的求法
【考纲要求】
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
列式:用坐标表示条件,列出方程;
化简:化方程为最简形式;
检验:检验某些特殊点是否满足题意,把不满足的点排除,把满足的点补充上来。
3、求轨迹方程的四种主要方法
(1)待定系数法:通过对已知条件的分析,发现动点满足某个曲线(圆、圆锥曲线)的定义,然后设出曲线的方程,求出其中的待定系数。
(2)代入法:如果点的运动是由于点的运动引起的,可以先用点的坐标表示点的坐标,然后代入点满足的方程,即得动点的轨迹方程。
(3)直接法:直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程。
(4)参数法:动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的,可以选参、设参,然后用这个参数表示动点的坐标,即,再消参。
例1 线段与互相垂直平分于点,,,动点满足,求动点的轨迹方程.
解:如图1,以中点为原点,直线为轴建立直角坐标系.
设,易知.
[来源:学,科,网].
整理得,
故动点的轨迹方程为.
例2 已知圆: ,由动点向圆引两条切线、,切点分别为、,并且,求点的轨迹。
解:设,由题得是直角三角形,且
在直角三角形中,
所以动点P的轨迹方程为它是以点为圆心,4为半径的圆。
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。
方法二 待定系数法 使用情景 通过已知条件的分析可以得到动点满足某种曲线(圆、圆锥曲线)的定义。 解题步骤 (1)分析出动点满足的方程;(2)证明动点满足某曲线(圆、圆锥曲线)的定义;(3)设出该曲线的待定系数方程;(4)求出待定系数,即得所求的轨迹方程。 [来源:Z。xx。k.Com]和都外切,求动圆圆心的轨迹方程.
解:设半径为的动圆圆心为,
因为圆与圆,圆都外切,
则,,.
因此点的轨迹是焦点为中心在的双曲线的左支.
故所求轨迹方程为.
在面积为1的中,.建立适当坐标系,求[来源:学科网]为焦点且过的椭圆方程.
解:如图2,以直线为轴,的垂直平分线为轴,建立直角坐标系.
设所求椭圆方程为,焦点为,
由,,
得直线, ①
直线 ②
①,②联立,求得点.
又,
可得,则点.
又,,
则.
又,
故所求椭圆方程为.
【点评】此题已知已经告诉是椭圆,所以直接利用待定系数法,先定式,后定量。
【变式演练2】 在中,上的两条中线长度之和为39,求的重心的轨迹方程.
例5 已知抛物线和点,为抛物线上一点,点在线段上且,当点在该抛物线上移动时,求点的轨迹方程.
解:设点,,由,知点分所成的比为,则
又点在抛物线上,则.
整理得为所求轨迹方程.
例6 已知曲线
(1)证明:当时,曲线是一个圆;
(2)求证圆心在一条定直线上。
【点评】(1)此题求圆心在一定直线上,就是求动点的轨迹是一条直线;(2)圆心的运动主要是因为参数引起的,所以选用消参法解答。
【变式演练4】 已知线段,直线垂直平分于,在上取两点,使有向线段满足,求直线与的交点的轨迹方程.
【解析】设,又知,则
直线的方程为 ①
由,知,所以。从而,因而为定值
[解析](1)设M的坐标为(x,y),显然有x0,.
当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,, ±3)
当∠MBA≠90°时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
有tan∠MBA=,即
解得,m1,且m2
设Q、R的坐标分别为,由有
已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是( )
A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线
2 设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点,P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )
A B
C D
3. 如图,定点A和B都在平面内,定点PC是内异于A和B的动点。且,那么动点C在平面内的轨迹是( )
A. 一条线段,但要去掉两个点[来源:Zxxk.Com] △ABC中,A为动点,B、C为定点,B(-,0),C(,0),且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_________
6 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上,且相距10 m,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(-5,0)、B(5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________
7 已知A、B
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