平行线的判定定理.doc

平行线分线段成比例定理 重点难点解析 重点：平行线分定理与三角形一边的平行线的性质和判定. 难点：平行线分线段成比例定理及推论的应用.命题趋势分析 利用平行线分线段成比例定理及相关推论，进行证明和计算是考试热点，在中考中常以填空题、选择题、计算题、证明题和作图题出现，解题时要结合比例性质.1 已知：如图5-19，AD为△ABC的角平分线，求证：AB∶AC=BD∶DC． 分析一 如图5-19（a），由求证及平行线分线段成比例定理的启发，如果通过C作AD的平行线交BA的延长线于点E，则AB∶AE=BD∶DC，因此只要证明了AE=AC，问题就解决了． 证法一 如图5-19（a），通过C作AD的平行线交BA的延长线于点E，则 AB∶AE=BD∶DC． 但∠ACE=∠CAD，∠E=∠BAD，而∠CAD=∠BAD，所以∠ACE=∠E从而AE=AC．代入上式便得 AB∶AC=BD∶DC． 与分析一相仿，又得以下的证法二． 证法二 如图5-19（b），通过D作AC的平行线交AB于点F．以下请读者自己完成． 分析二 如图5-19（c），由于△ABD和△ACD的边BD，CD在同一直线上，从而这两个三角形的边BD，CD上的高相等．这就有S△ABD∶S△ACD=BD∶CD．如果再证明了S△ABD∶S△ACD=AB∶AC，问题就解决了．从D向AB，AC上分别引垂线段DH，DK，则又有 DH=DK）． 证法三从略． 点评 例1这个命题叫做“三角形内角平分线性质定理”． 对于三角形的外角也有类似性质：设△ABC顶点A处外角的平分线交BC的延长线于点D′，则AB∶AC=BD′∶D′C．这个命题叫做“三角形外角平分线性质定理”． 以上两个定理的逆命题也都成立． 例2 求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于一腰上的高． 即图5-20中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，PR⊥AB于点R，PQ⊥AC于点Q，BH为腰上的高．求证：PQ+PR=BH． 分析一 如图5-20（a），要证明PQ+PR=BH，可在BH上取一线段等于PQ，然后证明BH上余下的部分等于PR． 证法一 如图5-20（a），作PD⊥BH于点D，则由于四边形PQHD为矩形，所以PQ=DH．在直角△PBR和直角△BPD中，PB为公共边，∠PBR=∠BCA=∠BPD，所以△PBR≌△BPD，从而PR=BD．于是PQ+PR=DH+BD=BH． 分析二 如图5-20（b），要证明PQ+PR=BH，可延长QP到E，使延长部分等于PR，然后证明所得的线段EQ等于BH． 证法二 请读者自己完成． 分析三 如图5-20（c），连结线段AP，则AP把△ABC分为两个三角形，而PQ，PR分别是新出现的两个三角形的高，BH是原三角形的高．这三个三角形的底边都是原三角形的腰，而底边与高和三角形的面积密切联系，所以本例可利用三角形的面积证明． 证法三 如图5-20（c），连结线段AP，则 而??????????????????????????????????????? S△APC+S△APB=S△ABC， 因为AB=AC，这就得 PQ+PR=BH． 分析四 如图5-20（d），PQ∥BH，再作出AB上的高CK（=BH），则又出现PR∥CK．有平行线就会有成比例线段，本例可用平行线分线段成比例定理证明． 证法四 如图5-20（d），作CK⊥AB于点K，则 PQ∶BH=PC∶BC， PR∶BH=PR∶CK=PB∶BC， 从而??????????????????????????????????????? PQ+PR=BH． 点评 要证明线段AB+CD=EF，可在EF上取点G，令EG=AB，然后证明GF=CD；或延长AB到H，令BH=CD，然后证明AH=EF；或延长AB到H，令AH=EF，然后证明BH=CD；如此等等． 例3 已知：如图5-21，△ABC中，∠A为直角．以AB，AC分别为边向外侧作正方形ABDE，ACFG，线段CD，BF分别与AB，AC相交于点X，Y．求证：AX=AY． 分析一 如图5-21（a），由于AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成比例线段，在这些成比例的线段中，除AX，AY外，其余的线段都是两个已知正方形的边，因此AX=AY应该能用平行线分线段成比例定理得到证明． 证法一 如图5-21（a），由于AX∥ED，AY∥GF，所以 AX∶DE=AC∶CE，AY∶FG=AB∶BG， 即????????????????? AX∶DE=AC∶CE，AY∶AB=FG∶BG． 而??????????????????????????? DE=AB，AC=FG，CE=BG． 所以??????????????????????????????????????????? AX=AY． 分析二 如图5-21（b），