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平面几何基础知识教程（圆） 几个重要定义 外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心 内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心 垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心 凸四边形：四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形 折四边形：有一双对边相交的四边形叫做折四边形（如下图） （折四边形） 圆内重要定理： 四点共圆 定义：若四边形ABCD的四点同时共于一圆上，则称A，B，C，D四点共圆 基本性质：若凸四边形ABCD是圆内接四边形，则其对角互补 证明：略 判定方法： 1．定义法：若存在一点O使OA=OB=OC=OD，则A，B，C，D四点共圆 2．定理1：若凸四边形ABCD的对角互补，则此凸四边形ABCD有一外接圆 证明：略 特别地，当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时，此四边形有一外接圆 3．视角定理：若折四边形ABCD中，，则A，B，C，D四点共圆 证明：如上图，连CD，AB，设AC与BD交于点P 因为，所以 特别地，当=90时，四边形ABCD有一外接圆 2．圆幂定理： 圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。 相交弦定理：P是圆内任一点，过P作圆的两弦AB，CD，则 证明： （切）割线定理：P是圆外任意一点，过P任作圆的两割（切）线PAB，PCD，则 证明方法与相交弦定理完全一样，可仿前。 特别地，当C，D两点重合成为一点C’时，割线PCD变成为切线PC’ 而由割线定理，，此时割线定理成为切割线定理 而当B，A两点亦重合为一点A’时，由切割线定理 因此有PC’=PA’，此时切割线定理成为切线长定理 现考虑割线与切线同时存在的情况，即切割线定理的情况： 如图，PCD是圆的割线，PE是圆的切线 设圆心为O，连PO，OE，则由切割线定理有： 而注意到黄色Δ是RTΔ，由勾股定理有： ，结合切割线定理，我们得到 ，这个结果表明，如果圆心O与P是确定的，那么 PC与PD之积也是唯一确定的。 以上是P在圆外的讨论 现在再重新考虑P在圆内的情形，如下图，PCD是圆内的现，PAB是以P为中点的弦 则由相交弦定理有 连OP，OA，由垂径定理，ΔOPA是RTΔ由勾股定理有 ，结合相交弦定理，便得到 这个结果同样表明，当O与P是固定的时候PC与PD之积是定值 以上是P在圆内的讨论 当P在圆上时，过P任作一弦交圆于A（即弦AP），此时 也是定值 综上，我们可以把相交弦定理，切割线定理，割线定理，切线长定理统一起来，得到圆幂定理。 圆幂定理：P是圆O所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外），过点P任作一直线交圆O于A，B两点（A，B两点可以重合，也可以之一和P重合），圆O半径为r 则我们有： 由上面我们可以看到，当P点在圆内的时候，，此时圆幂定理为相交弦定理 当P在圆上的时候， 当P在圆外的时候，此时圆幂定理为切割线定理，割线定理，或切线长定理 以下有很重要的概念和定理：根轴 先来定义幂的概念：从一点A作一圆周上的任一割线，从A起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点对于这圆周的幂 对于已知两圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线。 根轴的定义：两圆等幂点的轨迹是一条直线，这条直线称为两圆的根轴 性质1 若两圆相交，其根轴就是公共弦所在直线 由于两圆交点对于两圆的幂都是0，所以它们位于根轴上，而根轴是直线，所以根轴是两交点的连线 性质2 若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线（即性质1的极限情况） 性质3 若三圆两两不同心，则其两两的根轴交于一点，或互相平行 所交的这点称为根心 证明：若三圆心共线，则两两圆的根轴均垂直于连心线，因此此时两两的根轴互相平行 若三圆心不共线，则必成一三角形，因此两两的根轴必垂直于两两的连心线。如图，设CD与EF交于点O，连AO交圆分O2圆O3于B’,B’’，则 其中前两式是点O对圆O2的幂，后二式是点O对圆O3的幂，中间是圆O对圆O1的幂进行转化 由此B’与B’’重合，事实上它们就是点B（圆O2与圆O3的非A的交点），由此两两的根轴共点 圆幂定理是对于圆适用的定理，今使用圆幂定理对圆内接四边形判定方法的补充： 圆内接四边形判定方法 4．相交弦定理逆定理：如果四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且满足 ，则四边形ABCD有一外接圆 5．切割线定理逆定理：如果凸四边形ABCD一双对边AB与DC交于点P 且满足，则四边形ABCD有一外接圆 这样我们就补充了两种判定方法 例（射影定理）：RTΔABC中，BC是斜边，AD是斜边上的高 则 证明： （1） （2）（3） 例2：垂心 ΔABC中，三边所在的高的所在的直线交于一点 证明： 3．Miquel定理 之前1，2的重要定理都是讨论关于点共圆的情况。那么反过来，圆共点的情况又如何？