用几何图示法解代数问题-中小学教育网.doc

用几何图示法解代数问题 黄儿娇 很多代数问题用纯代数知识来解答很繁琐，也很难解决。因此，许多代数问题用几何图示法来解决非常容易，下面列举几例进行探讨。 一. 线段图示法 例1. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时，甲车在已过中点15千米处，相遇后甲车再行时到达B地，乙车又行了2时到达A地，求甲、乙两车每时各行多少千米？ 分析：行程问题有三个基本量：路程、速度、时间，且有基本关系：路程=速度×时间。本题设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，由于同时出发到相遇时，甲车在已过（如图1）所示的线段AB中点M的15千米处C点，继续前进后，甲车行的距离为千米，乙车行的距离为CA=2y千米。因此，甲车开始行驶的距离AC的时间为时与乙车开始行驶的距离BC的时间为时所用时间相同，而M是AB的中点， 即AM=BM，MC=15千米， 则，由图所示易知： 解这个方程组，得 经检验，都是原方程组的解，但，不合题意，舍去。 所以，甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为60千米/小时。 图1 二. 三角形图示法 例2. 已知正数，x，y满足条件x+y=4，求的最小值。 分析：若直接求解，比较困难，但注意到所求式子的特点，则可构成直角三角形求解，就容易多了。建立（如图2）所示的两个直角三角形。由图2可知三角形面积关系： 。 即： 所以 可见，当且仅当∠BAC=90°，即sin∠BAC=1时所求的式子有最小值4。 图2 三. 矩形图示法 例3. 证明平方差公式。 分析：通过计算（图3）两个图形（阴影部分）的面积相等，验证平方差公式。 甲图的面积等于，乙图的面积等于，而甲图的面积等于乙图的面积。 则。 图3 例4. 验证完全平方公式。 分析：通过计算（图4）四块面积的和等于大正方形面积，验证完全平方公式。 大正方形的面积等于，四块面积的和等于， 所以。 图4 例5. 试证的关系式。 分析：通过计算（图5）小正方形（阴影面积）等于大正方形面积减去四个相等的矩形面积4mn。即可得到：。 图5 例6. 证明：……=1。 分析：构造（图6）边长为1的正方形，由于该正方形的面积为1，显然有 ……=1 图6 例7. 一项工程，甲单独做需15天完成，乙单独做需25天完成。这项工程由甲、乙合成，并且施工期间乙休息7天，问需要几天完成？ 分析：设总工作量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为；设甲、乙合做而且施工期间乙休息7天，需x天完成。 如图7，先画矩形ABCD，它的面积表示甲、乙合做x天所能完成的工作量。再画矩形EFGH，它的面积表示乙单独做7天所能完成的工作量。那么图中的阴影部分是这项工程的总工作量，可用1表示。这样就得到了等量关系：矩形ABCD面积－矩形EFGH面积=阴影部分面积。 根据这一等量关系就可列出方程： 解这个方程，得（天）。 因此，这项工程需12天完成。 图7 快乐学习，尽在中小学教育网 第2页（共4页） 正保远程教育 地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层 24小时客服热线：010