第一节集合.映射.ppt

主要内容 集合 第 一 节 集合 ? 映射 映射 一、集合 1. 集合的定义 集合 集合是数学中最基本的概念之一， 它不能用更简单的概念来定义，而只能对它作些解 释. 所谓集合是指由一些确定的对象(或事物)汇集 成的整体，其中每个对象叫集合的元素. 通常用大写字母 A，B，X，Y 等表示集合，用 小写字母 a, b, x, y 等表示集合的元素. 如果元素 a 在集合 A 中，就说“a 属于 A”，记作 a ? A ； 如果元素 a 不在集合 A 中，就说“a 不属于 A”， 记作 a ? A . 2. 集合的表示法 集合的表示法有两种：列举法和描述法. 列举法 : 把集合中的元素一一列举出来. 例如，设 M 是由数1, 2, 3 组成的集合，则 M 可记为 M = {1, 2, 3}. 描述法: 即用集合中全部元素所具有的特征 性质来表述集合. 其格式是 M = { a | a 具有的性质 } . 例如，适合方程 的全部点的 集合 M 可写成 又例如，两个多项式 f (x) , g (x) 的公因式的集合可 写成 M = { d(x) | d(x) | f (x) , d(x) | g (x) } . 3. 空集合 不包含任何元素的集合称为空集合,记为? . 例如， 一个无解的线性方程组的解集合是空集合. 把空集合也看作是集合，这一点与通常的习惯不 很一致，但是在数学上有好处，同时也不是完全没 有道理的，正如把 0 也看作是数一样. 4. 两个集合之间的关系 1) 相等 如果两个集合 M 与 N 含有完全相同的元素， 即 a ? M 当且仅当 a ? N，那么它们就称为相等， 记为 M = N . 2) 子集合 如果集合 M 的元素全是集合 N 的元素，即由 a ? M 可以推出 a ? N，那么 M 就称为 N 的子集 合，记为 M ? N 或 N ? M . 例如，全体偶数组成的集合是全体整数组成的 集合的子集合. 按定义，每个集合都是它自身的子 集合. 我们规定，空集合是任一集合的子集合. 两个集合 M 和 N 如果同时满足 M ? N 和 N ? M，则 M 和 N 相等. 3) 交集 设 M，N 是两个集合，既属于 M 又属于 N 的 全体元素所组成的集合称为 M 与 N 的交集，记为 M ∩ N . 集合 M，N 的交集，用图示法可表示为如下的 的阴影部分. M N M∩N 图 6-1 例如，方程 2x - y = 1 的解集合与方程 x - 2y = 2 的解集合的交集就是方程组 的解集合. 又例如，设 M = { 1, 2, 3, 4 } , N = { 2, 3 } , 则 M ∩ N = { 2, 3 } . 显然有 M ∩ N ? M ， M ∩ N ? N . 4) 并集 属于集合 M 或者属于集合 N 的全体元素所成 的集合称为 M 与 N 的并集，记为 M ∪ N . 集合 M，N 的并集， 所示的红色部分. M N M ∪ N 用图示法可表示为如图 设 M = { 1, 2, 3, 4 } , N = { 2, 3, 5 } , 则 M ∪ N = { 1, 2, 3, 4, 5 }. 图 6-2 5) 差集 属于集合 M 而不属于集合 N 的所有元素组成 的集合称为 M 与 N 的差集，记为 M - N . M N M - N 集合 M，N 的差集， 所示的红色部分. 用图示法可表示为如图 设 M = { 1, 2, 3, 4 } , N = { 2, 3, 5 } , 则 M - N = { 1, 4 }. 图 6-3 二、映射 1. 映射的定义 定义1 设 X，Y 是非空集，所谓集合 X 到集合 Y 的一个映射就是指一个法则 ?，它使 X 中每一个 元素 ? 都有 Y 中一个确定的元素 ? 与之对应. 记为 ? (? ) = ? ，或 ? ： ? ? ? . ? 称为 ? 在映射? 下的像，而? 称为 ? 在映射? 下 的一个原像. M 到 M 自身的映射，有时也称为 M 到自身的 变换. 注意： ? 的像是唯一的，但 ? 的原像不一定 是唯一的. 2. 映射的例子 例 1 M 是全体整数的集合，N 是全体偶数 的集合，定义 ? (n) = 2n , n ? M . 这是 M 到 N 的一个映射. 例 2 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合， 定义 ?1 (A) = | A | ，A ? M . 这是 M 到 P 的一个映射. 例 3 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合， 定义 ?2 (a) = aE ，a ? P . E 是 n 级单位矩阵，这是 P 到 M 的一个映射. 例 4 对于 f