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高中数学 子集、全集、补集 编稿老师 康凯 一校 黄楠 二校 杨雪 审核 王云生 一、考点突破 1. 理解子集、真子集、补集、全集概念2. 会求简单集合的子集、真子集3. 理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求补集重难点提示 2. 注意空集的特殊性在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性。 1. 子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集， 记为：A?B（或B?A）。即：任意的x∈A，都有x∈B。 2真子集若A?B，且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集。记为AB（或BA）。 补集设，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为，即。 若集合S包含我们所要研究的各个集合，那么S可以看做一个全集。空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集。即?A，B（B≠）。 传递性则；且，则若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个。 补集的性质：A∪（?UA）＝U；A∩（?UA）＝；?U（?UA）＝A 例题1已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1x2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围。 思路分析若B?A，则B＝或B≠两种情况讨论。 答案：当B＝时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠时，若B?A，如图。 则，解得2m≤4综上，m的取值范围为m≤4要考虑到集合为空集的可能性（）对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析；（）对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论。例题2，，，则 。 思路分析：知：，7∈U，且7A，则，解之得a＝－－答案 用分类讨论思想集合中若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可取值组成的集合； 若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A，求由m的可取值组成的集合。 解（1）P＝{－3，2}。当a＝0时，S＝，满足S?P； 当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－， 为满足S?P可使－＝－3或－＝2， 即a＝或a＝－故所求集合为{0，，－}。（2）当m＋12m－1，即m2时，B＝，满足B?A；若B≠，且满足B?A，如图所示， 则即∴2≤m≤3故m2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}。 【思维突破】 在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答。 【易错】（1）容易忽略a＝0时，S＝这种情况（2）想当然认为m＋12m－1忽略“”或“＝”两种情况 （答题时间：0分钟） 1已知M＝{x|x＝a2＋2a＋4，a∈R}，N＝{y|y＝b2－4b＋7，b∈R}，则M，N之间的关系为 。2. 已知集合，，则满足条件的集合的个数是_________个。 已知集合A＝1，3，2－1，集合B＝3，，若BA，求实数的值。 若集合，集合，且，求实数的取值范围。集合A＝{x||x－a|≤2}，集合B＝{x||4x＋1|≥9}，且，求a的取值范围。 。 （1）若，试判断集合A与B的关系； （2）若，求实数a组成的集合C。，若集合A，B，C至少有一个非空，求的取值范围。  1. M＝N 解析：∵a2＋2a＋4＝（a＋1）2＋3≥3，∴M＝{x|x≥3}。 又∵b2－4b＋7＝（b－2）2＋3≥3，∴N＝{y|y≥3}。 ∴M＝N。2. 4 解析：由题目可得，且，因此C一定含有1，2，可能含有3或4或3和4，即C＝{1，2}；C＝{1，2，3}；C＝{1，2，4}；C＝{1，2，3，4}，故答案为4。 解：∵BA，∴m2∈A，∴m2＝1或2m－1。 ①当m2＝1时，m＝1或－1。 若m＝1，则A＝{1，3，1}，不符合元素的互异性； 若m＝－1，则A＝{1，3，－3}，B＝{3，1}，符合题意。 ②当m2＝2m－1时，m＝1，同上，不符合题意。 综上所述，m＝－1。 解：若A＝，则，此时△＝a2－40，解得－2a2。 若1∈A，则1＋a＋1＝0，解得a＝－2，此时A＝{1}B成立； 若2∈A，则4＋2a＋1＝0，解得，此时A＝{2，}，AB不成立。 所以，实数的取值范围是。解：B＝｛x||4x＋1|≥9｝，则x的取值范围是4x＋1≥9或4x＋1≤－9，分别解得x≥2或x≤－。A＝{x||x－a|≤2｝，则x的取值范围是－2≤x－a≤2，解得a－2≤x≤a＋2，因为，则a＋2≤－或a－2≥2，解得a≤－或a≥4。（1）由得或，所以。若，则，即，所以，故。 （2）因为，又。则 ①当时，则方程无解，则； ②当时，则，由得。 所以或，即或。故集合。参数的问题在高中