第六章几个典型的代数系统.doc

第六章 几个典型的代数系统 本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群． 6.1 半群 ? 定义 6.1 称代数结构S，(为半群（semigroups），如果 ( 运算满足结合律．当半群S，(含有关于 ( 运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群． 例6.1 I+，＋，N，·， ((，并置都是半群，后两个又是独异点． 半群及独异点的下列性质是明显的． 定理6.1 设S，(为一半群,那么 （1）S，(的任一子代数都是半群，称为S，(的子半群． （2）若独异点S,(,e的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为S，( , e的子独异点． 证明简单，不赘述． 定理6.2 设S，(,S’，(’是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有 （1）同态象h(S)，(’为一半群． （2）当S，(为独异点时，则h(S)，(’为一独异点. 定理6.3 设S，(为一半群,那么 （1）SS，○ 为一半群，这里SS为S上所有一元函数的集合，○ 为函数的合成运算． （2）存在S到SS的半群同态． 证（l）是显然的． 为证（2）定义函数h:S→SS：对任意a(S h（a）= fa fa：S→S 定义如下: 对任意x(S， fa（x）= a(x 现证h为一同态．对任何元素a,b(S． h(a(b)＝fa(b （l1－1） 而对任何x(S， fa(b（x）= a(b(x = fa（fb（x））= fa○fb （x） 故fa(b = fa○fb ,由此及式（l1－1）即得 h（a(b）= fa(b = fa○fb ＝h（a）○ h（b） 本定理称半群表示定理。它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。这里S，(同构于h(S)，○ ---- SS，○ 的一个子代数． 6.2 群 ?群是最重要的代数结构类，也是应用最为广泛的代数结构类.我们以后要深入研究的代数结构环和域也都是以群为基础的. 6.2.1 群及其基本性质 定义6.6 称代数结构G，(为群（groups）,如果 （1）G，(为一半群． （2）G，(中有么元e. （3）G，(中每一元素都有逆元． 或者说，群是每个元素都可逆的独异点．群的载体常用字母G表示 ，因而字母G也常用于表示群． 定义 6.7 设 G，(为一群． （1）若 ( 运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abel group）．阿贝尔群又称加群，常表示为G，+ （这里的 + 不是数加，而泛指可交换二元运算．回忆: (常被称为乘）．加群的么元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元. （2） G为有限集时，称G为有限群（finite group）,此时G的元素个数也称G的阶（order）；否则，称G为无限群（infinite group）． 例6.6 （1）I, + （整数集与数加运算）为一阿贝尔群（加群）,数0为其么元. N,+ 不是群．因为所有非零自然数都没有逆元. （2）Q+ ,·（正有理数与数乘）为一阿贝尔群，1为其么元. Q ,·不是群，因为数0无逆元． （3）Nk,＋k为一k阶阿贝尔群, 数0为其么元 . （4）设P为集合A上全体双射函数的集合，○ 为函数合成运算.那麽 P, ○ 为一群．A上恒等函数E A为其么元。 P, ○ 一般不是阿贝尔群. 群的下列基本性质是明显的. 定理1l.9 设G，(为群，那麽 （1）G有唯一的么元，G的每个元素恰有一个逆元． （2）关于x的方程a(x＝b，x(a＝b都有唯一解． （3）G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立：对任意a,x,yS a*x = a*y 蕴涵 x = y ; x*a = y*a 蕴涵 x = y （4）当G ( {e}时, G无零元． （5）么元e是G的唯一的等幂元素. 证（1）,（2）,（3）是十分明显的． （4）若G有零元,那么它没有逆元，与G为