数学史与中学数学7.ppt.ppt

案例5 实无穷概念 3、观察长度分别为4厘米和6厘米的线段AB和CD，若比较 AB和CD上的点，CD上的点是否比AB上的点更多？ A、是 B、否 C、不知道 解释你的答案。 案例5 实无穷概念 4、再观察线段AB和CD，连接CA和DB，并延长，交于点O，设P是CD上任意一点，连接PO，交AB于P?。CD上的点是否比AB上的点更多？ A、是； B、否； C、不知道 解释你的答案。 案例5 实无穷概念 5、设 ， ，则集合A和 B是否具有同样多的元素？ A、是; B、否; C、不知道 解释你的答案。 案例5 实无穷概念 两个集合 A 和 B都满足： (1) A和B都是无穷集合； (2) B是A的真子集； (3) A和B的元素之间存在一一对应关系。 案例5 实无穷概念 案例5 实无穷概念 研究发现：学生比较无穷集合所用的策略 类型1 集合A与集合B中的元素个数均为无穷，所以元素一样多。 类型2 集合A与集合B的元素都是无穷多，无法比较。 类型3 集合B是集合A的真子集，集合A中的元素比集合B中的元素多。 类型4 集合A与B之间存在一一对应关系，两个集合中的元素一样多。 案例5 实无穷概念 历史相似性 古希腊 G. Galilei (1638)：Dialogues concerning two new sciences：两条不相等的线段AB和CD上的点可以构成一一对应；正整数集和正整数平方所构成的集合之间可以建立一一对应关系。伽利略没能解决部分与整体“相等”的矛盾。他认为无穷大量都是一样的，不能比较大小，即不能将“大于”、“小于”和“等于”这样的词用于无穷大量。 案例5 实无穷概念 19世纪，高斯（C. F. Gauss, 1777-1855）、柯西（A. L. Cauchy, 1789-1857）、魏尔斯特拉斯（K. Wierestrass, 1815 -1897）等都无法接受无穷集合，因为它们和伽利略一样，无法解决“部分等于整体”这个矛盾。 波尔察诺（B. Bolzano,1781-1848）Paradoxes of the Infinite：包含关系准则－－“如果集合A是集合B的真子集，即A真包含于B，那么A中的元素少于B中的元素。” 案例6 中学生对古典概率的理解 研究问题：中学生在解决概率论早期历史上的古典概率问题时是否重复了历史上数学家的解决方法？ 研究方法：测试、访谈 被试：浙江省某一级重点中学、普通中学和综合高中高一（16-17岁）、高二（17-18岁）两个年级共16个班级652名学生。 案例6 中学生对古典概率的理解 研究工具 1.在古代机会游戏中，一方掷两个骰子，让另一方猜点数和。显然，有些点数出现的可能性要小一些。比如，要掷得 12 点，只有一种方式，即两个骰子必须同为 6 点，亦即。但要掷出 8 点，就不止一种方式了，因为，等等。其他点数相类似。 案例6 中学生对古典概率的理解 (1) A 认为，最佳选择是7点，因为它是可能性最大的点数； (2) B 认为，最佳选择是6点或8点，因为它们都是可能性最大的点数； (3) C 认为，最佳选择是6点、7点或8点，因为它们都是可能性最大的点数； (4) D认为，最佳选择是3、4、5、6、7、8、9、10或11点（除了2点和12点以外的所有点数），因为它们都是可能性最大的点数。 你认为A、B、C、D四人中谁的看法是正确的？为什么？ 案例6 中学生对古典概率的理解 案例6 中学生对古典概率的理解 案例6 中学生对古典概率的理解 2. 赌技相当的甲、乙两人各出资赌金96金币，规定必须要赢三场者才能赢得全部赌金共192金币，但比赛中途因故终止，且此时甲乙胜局数为2:1。若你是仲裁者，请问此时应如何分配赌金，并说明理由。 案例6 中学生对古典概率的理解 案例6 中学生对古典概率的理解 案例6 中学生对古典概率的理解 结论 中学生在解决概率前史阶段的“投掷问题”、“点数问题”时与历史上数学家们的方法具有相似性。 案例7 虚数与发散级数 研究问题：中学生对虚数和发散级数的理解是否具有历史相似性？ 研究方法：测试 被 试：江苏扬州某中学高一 3 个班级共 155 名学生，他们在学校里都没有学