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沿着欧拉的足迹走走看 一、课题 沿着欧拉足迹走走看 二、教材内容 义务教育课程标准实验教科书数学（7-9年级，华东师范大学出版社）七年级上册阅读材料《欧拉公式》。 三、教学目标分析 1.经历对正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体等五种特殊的正多面体的观察过程，并利用不完全归纳推理，探索正多面体顶点数、面数、棱数之间的规律。 2.发展学生的操作能力、观察能力，以及合情推理能力；培养学生良好的思维品质，勇于接受挑战、不畏困难的精神以及合作交流的精神。 四、教学内容分析 欧拉公式从来都被数学家们认为是一个惊人的发现，数学史讲它，数学方法论讲它，现在，北师大教材和华东师大教材都是在年级介绍了欧拉公式。…+100的故事。少年的好奇心会令他们跃跃欲试。事实上，学生的课堂的表现确实如此。 （三） 探索 1．教师活动： 引导学生数一数四面体、六面体、八面体、十二面体、二十面体的棱数、顶点数各是多少？看谁数的又准有快。 学生活动：学生开始计数，教师巡视并指导学生有规律地做好标记，以避免重复和遗漏。 设计说明 数一数顶点数、棱数并不困难，但是，能不能有条理地做好这件事，却不是每个学生都能做到的。这在一定程度上也能反映一个人的思维的缜密性。提出“又准有快”的要求，意在培养学生的良好的思维习惯。 2．教师活动： 提出问题：不用计数，根据面数能不能推出顶点数和棱数？ 引导学生，分组合作，互相讨论研究。 学生活动：新问题再一次引起学生的兴趣，开始研究、讨论。 师生交流活动： 教师提出，针对每种正多面体的面数顶点数棱数比如正十二面体，面数是12，每个面是正五边形，这样，棱数应该是5×12÷2=30条。5×12，每条棱就重复计数一次了。 而一条棱有2个端点，30条棱共有60个端点。每一个顶点有3条棱，，共有60÷3=20个顶点。多面体 顶点数() 面数() 棱数(E) 四面体 体 体 体 四面体 4 4 6 2 正方体 八面体 十二面体 二十面体 我们没有给出最后一列的栏目标题“V+F—E”。如果像教材那样给出等于告诉了答案，会对思维训练的效果大打折扣，学生也会因问题的显化而兴趣殆尽。让学生自己发现V+F-E是一个定值，才能使他们体会到欧拉的发现过程，才能使他们享受到发现后的成功感。下面的课堂实录表明：不用提示，学生是可以独立发现V+F-E是一个定值这样的结论的。 4．师生活动：引导学生观察所填入表格中的数据，分析其中的5组数据的特点。 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 4 6 正方体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 二十面体 12 20 30 （ 5．师生活动 师生互动，共同研究、分析，旨在发现V+F-E = 2的结论。 如，有的学生可能这样思考： “我注意到正方体与正八面体的顶点数和面数的数字是互换的：8换6，6换8，而棱数却相同，都是12。再往下看，十二面体和二十面体也是顶点数和面数20换12.12换20，棱数都是30。…” 而有的学生是这样想的： 我发现V+F—2= E，就是顶点数与面数的和总比棱数多2。比如，正四面体是4+4—2=6；正六面体和正八面体都是8+6—2=12；正十二面体和正二十面体都是20+12—2=30。…在正四面体上验证一下，4+4—2=6，也是如此。 这个结论可以表述为V+F—E = 2，把它记到表格的最后一栏吧。 设计说明 至此，“重现”发现欧拉公式的“演习”基本结束。在这一过程中教师一定注意自己的角色：一个指导者，且最好是一个尽量少说话的指导者。 （四） 点拨，拓展结论 教师及时引导学生思考，能不能将所得的结论在更多的几何体上加以验证。 如，教师学生自己设计表格整理数据是一种获取信息的能力