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沿着欧拉的足迹走走看.doc
沿着欧拉的足迹走走看
一、课题
沿着欧拉足迹走走看
二、教材内容
义务教育课程标准实验教科书数学(7-9年级,华东师范大学出版社)七年级上册阅读材料《欧拉公式》。
三、教学目标分析
1.经历对正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体等五种特殊的正多面体的观察过程,并利用不完全归纳推理,探索正多面体顶点数、面数、棱数之间的规律。
2.发展学生的操作能力、观察能力,以及合情推理能力;培养学生良好的思维品质,勇于接受挑战、不畏困难的精神以及合作交流的精神。
四、教学内容分析
欧拉公式从来都被数学家们认为是一个惊人的发现,数学史讲它,数学方法论讲它,现在,北师大教材和华东师大教材都是在年级介绍了欧拉公式。…+100的故事。少年的好奇心会令他们跃跃欲试。事实上,学生的课堂的表现确实如此。
(三) 探索
1.教师活动:
引导学生数一数四面体、六面体、八面体、十二面体、二十面体的棱数、顶点数各是多少?看谁数的又准有快。
学生活动:学生开始计数,教师巡视并指导学生有规律地做好标记,以避免重复和遗漏。
设计说明
数一数顶点数、棱数并不困难,但是,能不能有条理地做好这件事,却不是每个学生都能做到的。这在一定程度上也能反映一个人的思维的缜密性。提出“又准有快”的要求,意在培养学生的良好的思维习惯。
2.教师活动:
提出问题:不用计数,根据面数能不能推出顶点数和棱数?
引导学生,分组合作,互相讨论研究。
学生活动:新问题再一次引起学生的兴趣,开始研究、讨论。
师生交流活动:
教师提出,针对每种正多面体的面数顶点数棱数比如正十二面体,面数是12,每个面是正五边形,这样,棱数应该是5×12÷2=30条。5×12,每条棱就重复计数一次了。
而一条棱有2个端点,30条棱共有60个端点。每一个顶点有3条棱,,共有60÷3=20个顶点。多面体 顶点数() 面数() 棱数(E) 四面体 体 体 体 四面体 4 4 6 2 正方体 八面体 十二面体 二十面体 我们没有给出最后一列的栏目标题“V+F—E”。如果像教材那样给出等于告诉了答案,会对思维训练的效果大打折扣,学生也会因问题的显化而兴趣殆尽。让学生自己发现V+F-E是一个定值,才能使他们体会到欧拉的发现过程,才能使他们享受到发现后的成功感。下面的课堂实录表明:不用提示,学生是可以独立发现V+F-E是一个定值这样的结论的。
4.师生活动:引导学生观察所填入表格中的数据,分析其中的5组数据的特点。
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 4 6 正方体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 二十面体 12 20 30 (
5.师生活动
师生互动,共同研究、分析,旨在发现V+F-E = 2的结论。
如,有的学生可能这样思考:
“我注意到正方体与正八面体的顶点数和面数的数字是互换的:8换6,6换8,而棱数却相同,都是12。再往下看,十二面体和二十面体也是顶点数和面数20换12.12换20,棱数都是30。…”
而有的学生是这样想的:
我发现V+F—2= E,就是顶点数与面数的和总比棱数多2。比如,正四面体是4+4—2=6;正六面体和正八面体都是8+6—2=12;正十二面体和正二十面体都是20+12—2=30。…在正四面体上验证一下,4+4—2=6,也是如此。
这个结论可以表述为V+F—E = 2,把它记到表格的最后一栏吧。
设计说明
至此,“重现”发现欧拉公式的“演习”基本结束。在这一过程中教师一定注意自己的角色:一个指导者,且最好是一个尽量少说话的指导者。
(四) 点拨,拓展结论
教师及时引导学生思考,能不能将所得的结论在更多的几何体上加以验证。
如,教师学生自己设计表格整理数据是一种获取信息的能力
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