正弦定理的证明从历史到教学-张小明hpm研究工作坊.doc

正弦定理的证明：从历史到教学 张小明 （浙江省诸暨中学 311800） 【摘要】 本文通过对正弦定理证明方法的历史回顾，基于HPM研究的成果，对正弦定理的证明提出了几点教学建议。 【关键词】 HPM 数学史与数学教育 正弦定理 随着HPM(History and Pedagogy of Mathematics)研究的不断深入，数学史对数学教学的作用越来越受到数学教育工作者的重视，从教材的编写到普通的课堂教学设计，已经开始重视历史的维度，在历史的脉络中重新审视教材的编写和概念的教学逐步成为数学教学研究的一个重要方向。 作为中学数学重要内容的正弦定理，我国发行的各类数学课本中采用的证明方法几经变迁，先后采用过向量法、作高法、面积法等证明方法，现行人教A版教材则是以勾股定理作为知识的生长点，从特殊到一般，猜想出正弦定理，然后再通过作高将问题转化为直角三角形中三角比的问题，过程自然、简洁。遗憾地是，这一过程没有给出正弦定理的完整形式，没有和外接圆直径做联结，虽然在课后习题中要求学生证明了a:sinA=2R，但学生还是会有疑问：怎么会想到外接圆？本文以HPM的视角，立足正弦定理的历史发展，对正弦定理的教学提出几点建议。 1. 对正弦定理的历史回顾 三角学是一门古老的数学分支，人们很早就开始了对三角形边角关系的关注，随后的勾股定理的发现更是数学史上的一件盛事，传说毕达哥拉斯为此宰杀百牛设宴以示庆祝，而作为反映一般三角形边角关系的正弦定理，其发展过程则要漫长得多。 1.1 从弦表谈起 现代意义下的三角学创于古希腊天文学家希帕科斯（Hipparchus，190 B.C-120 B.C），他为了解决天文学中的计算问题，需要一个三角比率表，为此他将每一个三角形(包括球面三角形)都当做是某个圆的内接三角形，这样一来，三角形的边均变成圆的弦，接下来的任务就是研究弦与其所对的弧（或圆心角）之间的关系，希帕科斯写了12本计算弦长的书，但都失传了，后来的托勒密（Ptolemy，90-168）继承了希帕科斯的工作，编制了一张精度很高的弦表，由于当时采用60进制，所以托勒密将圆的半径定为60，如果圆心角为，则弦长，一般地，如图1，如果半径为R，那么.在使用这个表的过程中，要给圆心角除以2，得到弦长时又要乘以2，显得很麻烦，于是，后来的印度人对其进行的简化，约公元400年左右，印度天文学著作《Surya Siddhanta》给出了一个依据托勒密弦表的“半弦表”，说明了圆心角的一半与“半弦”的关系，随后的印度数学家阿利亚塔哈首次提出了正弦的概念，他用“ardha-jya”表示半弦，现在我们使用正弦函数“sine”的词源正是“半弦”。【1】 如前文所述，所谓的正弦本来就源自于圆的弦，而将三角形看成是圆的内接三角形这一方法自希帕科斯开始就被人们所沿用，这一做法也深刻地影响了后世数学家对正弦定理的发现和证明。 1.2 正弦定理的提出和证明 一般认为，最先提出并证明正弦定理的是伊斯兰天文学家家阿布.瓦法（Abul-Wafa，940-997），在他编著的《天文学大全》一书中，提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁.图西((Nasiral—Dinal—Tusi,1201～1274,两式相除，结合CG=BE知：. 1.2.2 雷吉奥蒙塔努斯（Regiomontanus,1436-1476）的证明【3】 成书于1463年的《论各种三角形》是第一本“纯”三角学著作，其作者雷吉奥蒙塔努斯在该书中给出的正弦定理的证明和纳绥尔丁的证明几乎完全一样，如图3，所不同的是他以较长的一边AC为半径作两段半径相等的弧，从而构造出sinB=DE, sinC=AF，接下来，由，可知 1.2.3 梅文鼎给出的证法【4】 前文所述的两个证明均以某线段长为半径作两个等圆，利用圆中的半弦表示三角形内角的正弦，如果将三角形的外接圆作出，利用外接圆的半弦亦即边长的一半表示三角形的内角正弦，则正弦定理几乎是不证自明的，我国清代最伟大的数学家梅文鼎在他的著作《平三角举要》中便采用了这种方法，限于篇幅，这里只给出锐角三角形的情形： 为了便于书写，我们将原图中的甲、乙、丙、丁分别用A、B、C、O代替，如图4，则有BC=2Rsin=2Rsin,于是，,同理. 这种证法不仅是简洁证明的典范，而且给出了正弦定理的完整形式. 1.2.4 利用三角比证明 十八世纪，正弦始终被认为是已知圆内与同一条弧有关线段，。1748年，拉《无穷分析引论》，指出：”三角函数是一种函数