神奇的幻方-杭州第七中学.doc

神奇的幻方 ——洛书、河图 把1，2，3，…，9这九个数，填入如图九个方格中，使横、竖、对角线上的每三个数的和都相等。你会填吗？ 我国古代有这样一个神话故事：为了帮助大禹治水，从他治理的河中跳出几头神物，献给他两张图，其中“河图”是来自黄河龙马的礼物；“洛书”是来自洛水神龟的礼物。这个故事是很古老的，不会晚于公元前五世纪，因为这个故事在《论语》和《书经》中都有记载，公元前四世纪的《星子》和公元前四世纪末的《庄子》也都有引证。《庄子》是最先把数与图联系起来，提出了“洛书”的九个数。公元前二世纪的《淮南子》、《易经系辞传》等对这个图开始有所发展。后代注释者对它的传统说法是：这两个图是前十个基数排列的方法。 洛书 河图 洛书是一个3×3幻方，河图是一个十字阵。在幻方中，数字按对角线、横线或竖线相加，结果都等于15。河图的排列是在除掉图中间的5和10所余的奇数和偶数各自相加都等于20。关于这些简单数字排列，有线索可查的最早著作似乎是写于公元80年且含有许多早期资料的《大戴礼记》。这部著作所给出的洛书的数字次序是：“二、九、四，七、五、三，六、一、八”，这九个数字放在九个格子中，就是常说的九宫图。 汉代徐岳所著《数术记遗》一书中曾谈到“九宫图”：刻板纵横各三份，共得九格，每一格中写一个字，纵、横、斜三数之和都是15。 后来甄鸾在这本书里有一段注释，说：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”。就是指出九个格里安排数字的顺序，这里的排列和洛书上一样。但在那时还没有河图、洛书的神话，可见九宫的方阵图实际早已有了。 洛书的图又称“三三幻方”。宋杨辉《续古摘奇算法》，提出它的造法，并加以推广，有“四四幻方”、“五五幻方”、“六六幻方”、、“九九幻方”和“百子幻方”等，都有它们的造法。 二阶幻方不存在，三阶幻方只有两种，四阶幻方有880种，但本质不同的四阶幻方只有四种，用计算机算出五阶幻方共有275305224种。不同的n阶幻方到底有多少种？这一直是困扰人们的一个谜。 构造奇数阶幻方比较容易，人们创造了不少方法，其中劳伯尔发明的楼梯法,在幻方热心者中最为知名。偶数阶幻方的一般性构造方法人们仍在探求之中。 程大位在《算法统宗》中继承了杨辉的工作，他给出了十四个幻方图。 1661年方中通所著的《数度衍》中又增添了几个图。后来有一位对幻方特别爱好者保其寿，在他的著作《碧奈山房集》中还有立体幻方。 幻方貌似简单，其实蕴含着无穷的奥秘，大数学家欧拉、发明家富兰克林都曾深入地研究过它．香港业余数学家黄志华先生发现了下面有趣的现象： 用幻方中的1，3，9，7顺时针构造四个两位数：97，71，13，39，以及逆时针构造四个两位数：31，17，79，93．他用计算器验算出 4 ⑨ 2 ③ 5 ⑦ 8 ① 6 97+71+13+39=31+17+79+93， 972+712+132+392=312+172+792+932， 973+713+133+393=313+173+793+933． 顺着黄先生的思路，我们构造两个三位数组：139，397，971，713及79，793，931，317．用计算机验算，同样发现 139+397+971+713=179+793+931+317， 1392+3972+9712+7132=1792+7932+9312+3172， 1393+3973+9713+7133=1793+7933+9313+3173． 这是何等的神奇! 不仅如此，幻方还与体育比赛、人工智能、建筑设计有关．这表明人类的智慧是何等的深邃、广博．一个3×3幻方竟出现在古代西藏人印玺的中央，这是数学思想没有国家和地区疆界的例证。 在西方，关于幻方最早的讨论出现在土麦那的勒恩的著作中，这部著作约写于公元130年。它明显的晚于中国好几个世纪。公元九世纪，幻方在占星学领域逐渐蔓延，阿拉伯占星家用它们来占星和算命。大约公元1300年，通过希腊数学家莫斯切普罗的著作，幻方及其性质被传播到西半球。 “洛书”与“河图”是世界上最早出现的组合数学。可惜的是，后人把它神化，以至于在组合数学的发祥地，现在组合数学方面的研究却很落后。所谓组合数学，至今也没有明确的界定。但比较一致的认识是：组合数学专门研究如下四个问题：⑴符合规则的安排是否存在？⑵符合规则的安排有多少种？⑶符合规则的安排如果存在，如何构造这种安排？⑷如何找到最优的安排？也就是说，组合数学研究：⑴安排的存在性问题；⑵安排的计数问题；⑶安排的构造问题；⑷安排的最优化问题。 组合数学不属于任何一门传统的数学分支，数学家们不是对它不屑一顾，就是望而却步。法国组合数学家贝尔热曾这样挖苦道：“数学家们形成一