微分方程的数值解.ppt

微分方程 ——变量局部平衡关系的数学模型 基本概念 微分方程 ——变量局部平衡关系的数学模型 微分方程 ——变量局部平衡关系的数学模型 微分方程 ——变量局部平衡关系的数学模型 ●含有未知函数导数（也可含有未知函数及其自变量）的条件等式，称为微分方程。我们这里限定未知函数是一元函数。方程中出现未知函数导数的最高阶次，称为微分方程的阶。一阶微分方程的一般形式为 微分方程的数值解法 微分方程的解析解法 由 1 , 2 消去t整理得模型: To Matlab chase1 轨迹图见程序chase1 * 数学建模 微 分 方 程 模 型 提要： ▼ 微分方程的一般概念 ▼ 微分方程的建立 ▼ 微分方程的解法 一 引 例 例 1 英国人口统计学家 Malthus （1766—1834年）在他当牧师时查 看了100多年的人口出生纪录，发现 人口出生率竟是一个常数，他力图由 此求出人口随时间变化的规律 微分方程 ——变量局部平衡关系的数学模型 例 2 微分方程 ——变量局部平衡关系的数学模型 放射性同位素的质量 随着时间的推移而减少，并且 减少的速度与现存质量成正比 ，我们力图从这点出发推出放 射性同位素的衰变规律。 放射性同位素的衰变规律 在讨论传染爆发期的传染规律时，我 们有以下两点假定： 1）单位时间内一个病人能传染别人的 人数是常数 ； 2）在考虑的爆发期内，病人不死不愈。 例 3 一种传染病的发病人数是时间的函数 传染病模型 我们得到并不符合实际情况的解 设该地区人口总数为 可得 微分方程 ——变量局部平衡关系的数学模型 求得传染速度为 这一关于时间的函数所表示的曲线就是 著名的医学统计学中的传染病曲线。 例 4 银行存款的本息计算 我们将 元人民币存入银行，当年利率为 时， 试计算t年后的本息总和 最后得到 。 微分方程 ——变量局部平衡关系的数学模型 自然界的统一性显示 在关于各种现象领域的微 分方程的 “惊人的类似” 中。--列宁“唯物主义与经验批判主义” 以上几例变量变化有一共同特点 ——变量的变化速度与其现存量成正比。 微分方程 ——变量局部平衡关系的数学模型 二阶微分方程的一般形式为 微分方程 ——变量局部平衡关系的数学模型 ●适合微分方程的函数称为微分方程的解在微分方程的解中，所含相互独立的任意常数个数与其阶数相等，此解为微分方程的通解。给定函数及其导数的特殊值，称为是微分方程的初始条件。适合初始条件而不含任意常数的解，称为是微分方程的特解。 ● 微分方程连同其初始条件，称为定解问题。 下抛物体的运动规律 物体以初速度 垂直向下运动，在不 计阻力的情况下，求其运动规律 。 微分方程 ——变量局部平衡关系的数学模型 定解问题为 例 5 解得 这一结果是用牛顿定义的导数 和积分计算出来的，而不必 象伽利 略一样再上比萨斜塔用秒表来得到 未必精确的结果。 微分方程 ——变量局部平衡关系的数学模型 Nature and nature’s laws lay hid in night,God said : “ Let Newton be ! ”and All was light. -----Pope 微分方程 ——变量局部平衡关系的数学模型 三. 小结 变化纷纭的 变量关系 求得局部 平衡关系 求出具体 函数关系 建立微分方程 微分方程求解 1。掌握微分方程的基本概念 2。建立微分方程，是从研究对象中变量变化的局部平衡关系出发的建立数学模型的过程，今后进一步提高数学思维能力、逐步掌握数学建模方法，这是大学生应具备的基本素质之一。 3。解微分方程 4。本章的学习有一明显的特点——“一把钥匙开一把锁”，即每一类方程都有其特有的方法解。 最后，关于学习微分方程希望记住以下几点 仔细分析，建立模型；分清种类，记住方法 目的 内容 MATLAB 2、学会用Matlab求微分方程的数值解. 实验软件 1、学会用Matlab求简单微分方程的解析解. 1、求简单微分方程的解析解. 4、实验作业. 2、求微分方程的数值解. 3、 数学建模实例 求微分方程的数值解 （一）常微分方程数值解的定义 （二）建立数值解法的一些途径 （三）用Matlab软件求常微分方程的数值解 返 回 1、目标跟踪问题一：导弹追踪问题 2、目标跟踪问题二：慢跑者与狗 3、地中海鲨鱼问题 返 回 数学建模实例 微分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令: dsolve ‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’ To Matlab（ff1） 结 果：u tg t-c 解 输入命令: y dsolve D2y+4*Dy+29*y 0