第一章-信号及其描述.ppt.ppt

5、卷积定理1 两个函数 和 卷积定义为 若 则 （1-42） 证明时域卷积 交换积分顺序 根据时移特性 证毕 * 5、卷积定理2 若 则 （1-43） 证明频域卷积 交换积分顺序 根据时移特性 证毕 * 6、微分和积分特性 由于 （1-28） （1-29） 对式(1-29)中t 进行微分 同理 （1-44） * 对式(1-28)中f 进行微分 同理 （1-45） 同样可证明 （1-46） * * 三、几种典型信号的频谱 1、矩形窗函数的频谱 （1）一个在时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。 （2）在时域中截取信号一段记录相当 x(t)w(t) W(f)*X(f) （3）在f=0～±1/T之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣，两侧峰值称为旁瓣。 （4）主瓣宽度为2/T与时域窗宽度T成反比，T↑→截取时间长，主瓣宽度小。 1 -T/2 T/2 t 0 x(t) Ie Re0 Re0 Re -4/T -3/T -2/T –1/T 1/T;;2/T; 3/T;4/T π f -3/T -2/T f 3/T 2/T -1/T 1/T 0 T W(f) φ(f) 0 2、δ函数及其频谱 (1)δ函数的定义 在δ时间内激发一个矩形脉冲 （或三角脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等),其面积为1。 当 时，有 （1-47） 从面积(通常称其为δ函数的强度)的角度看 （1-48） t 矩形脉冲 -ε/2 0ε/2 1/ε Sε(t) 0 1 δ(t) t δ函数 * (2)δ函数的采样性质 强度为f(0)的δ(t)函数 从数值上看 从强度上看 (1-49) 对于延时δ(t-t0)函数, (1-50) * 式(1-49)和(1-50)表明: ◆ 任意函数f(t)与δ(t-t0)的乘积是一个强度为f(t0)的 δ函数δ(t-t0)。 ◆ 该乘积在有限区间的积分是f(t)在t=t0的值f(t0) ◆ 此性质对连续信号的离散采样是十分重要的。 (3)δ函数与其它函数的卷积 δ函数与x(t)的卷积为 由于δ函数为偶函数 所以 （1-51） 同理当δ函数为δ(t ±t0)时 可见,函数x(t)与δ函数的卷积结果就是发生在δ函数坐标位置上(坐标原点)简单将函数重构图。 -t0 0 t0 t x(t)*δ(t+t0) x(t)*δ(t-t0) x(t)*δ(t±t0) 0 t x(t) t -t0 0 t0 δ(t+t0) δ(t-t0) δ(t±t0) A 0 t x(t)*δ(t) 0 t A x(t) 0 1 t δ(t) * （1-52） (4)δ(t )的频谱 (1-53) 其逆变换为 (1-54) f 0 1 Δ(f) t 0 1 δ(t) δ函数具有无限宽广频谱，而且是等强度的，也称为“均匀谱”。根据付里叶变换的对称性质、时移性质和频移性质，可得到以下付里叶变换对 * 时 域 频 域 δ(t ) ←→ 1 （单位瞬时脉冲） （均匀频谱密度函数） 1 ←→ δ(f) （幅值为1的直流量） （在f = 0处有脉冲谱线） δ(t -t0) ←→ e-j2πft0 （δ函数时移t0） (各频率成分分别相移-j2πft0) ej2πf0 t ←→ δ(f -f0) (复数指数函数) （将δ（f）频移到f0） (1-55) 3、正、余弦函数的频谱密度函数 据欧拉公式可推出 用式(1-55)付里叶变换对 (1-56) (1-57) 看出：正、余弦函数是把频域中两个δ函数向不同频移后的差或和的付里叶逆变换，参见函数和频谱图。 * 1/2 1/2 -f0 f0 -f0 f0 -1/2 1/2 0 0 f f ImX(f) x(t)=cos2πf0t x(t)=sin2πf0t 0 0 t t ReX(f) 4、周期单位脉冲序列的频谱 此序列常称为梳状函数，并用comb(t,Ts)表示 （1-58） 式中 Ts—周期 n =±1, ±2,… 因此，此函数是周期函数。 表示为复指数函数形式 （1-59） 式中