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第六节欧拉-柯西近似法
第六节 欧拉-柯西近似法 一、方向场 积分曲线 二、欧拉-柯西近似法 三、小结 一、方向场 积分曲线 二、欧拉-柯西近似法 三、小结 * * 定义1 定义2 等斜线的方程为 在这条等斜线上的各点处 方向场画法 例1 画出方程 所确定的方向 解 方程的等斜线为 画出五条等斜线, 场示意图. 定义3 如图, 的三条积分曲线. 经过点 根据方向场即可大致描绘出积分曲线. 问题: 方法:近似积分法——欧拉—柯西近似法. 一阶微分方程初值问题的解存在及唯一的充分条件如下定理: 注意 如此一段接一段地 作下去,得一条折线, 称欧拉折线. 注意 初值问题的近似解 例2 解 列表计算如下 过内任一点,做一个以为起点长度等于的向量
如图所示,
可形象地表示方向场.
设(1)中右端的函数在区域内有定义,那么过内每一点作一条以为斜率的直线,并把向量
所指的方向定义为直线的方向.这样,对于内每一点
,方程(1)都确定一个方向与之对应,于是我们说方程(1)在内确定了一个方向场.
方向场中具有同一方向的点的轨迹叫做方程(1)的等斜线.
适当画出若干条等斜线,再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量,这样即可画出这个方向场.
再在
每条等斜线上适当选取
若干个点画出对应的向
量,如图方向场.
一阶微分方程的初值问题
的解不能或不易用初等积分法求出时,怎么办?
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